【正文】 所繳納的純保費(fèi) ?與每人平均所發(fā)生的損失 幾乎相等。這個結(jié)論反過來則說明保險(xiǎn)人該如何收取純保費(fèi)，也即只有當(dāng)一個投保人所繳的純保費(fèi)等于他的損失期望值時，才能保證保險(xiǎn)人在整體上的收支平衡。 ??nkkXn11切比雪夫大數(shù)定律 努利大數(shù)定律是切比雪夫大數(shù)定律的特例。在切比雪夫大數(shù)定律中，設(shè)每個 Xn是服從 0— 1分布的隨機(jī)變量， 即 P(Xn=1)=p 而 P(Xn=0)=1p 這時 EXn=p。 令， nA=X1+X2+…+X n，則可由切比雪夫大數(shù)定律推出貝努利大數(shù)定律。 1li m,0,??????????????pnnPAnnpAAnA都有意的則對于任出現(xiàn)的次數(shù)，次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件在表示發(fā)生。以在一次試驗(yàn)中以概率設(shè)事件貝努利大數(shù)定律 貝努利大數(shù)定律表明事件發(fā)生的頻率具有穩(wěn)定性，也即當(dāng)試驗(yàn)次數(shù) n很大時，事件發(fā)生的頻率與其概率有較大偏差的可能性很小。這一定律是用頻率解釋概率的數(shù)理基礎(chǔ)，這對于利用統(tǒng)計(jì)資料來估計(jì)損失概率是極其重要的。在非壽險(xiǎn)精算中，可以假設(shè)某一保險(xiǎn)標(biāo)的具有相同的損失概率，這樣就可以通過以往的有關(guān)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，求出一個比率即這類保險(xiǎn)標(biāo)的發(fā)生損失的頻率，這個計(jì)算出來的頻率即為損失概率。但通過這種方法計(jì)算出來的損失概率是對實(shí)際概率的估計(jì)，與實(shí)際概率之間有一個偏差。根據(jù)大數(shù)定律，在觀察次數(shù)很大或觀察周期很長的情況下，計(jì)算出來的這一比率將與實(shí)際損失概率很接近。也就是說，隨著保險(xiǎn)標(biāo)的數(shù)量的增加，根據(jù)概率的頻率解釋計(jì)算出來的損失概率與實(shí)際損失概率之間的誤差會逐漸減少，估計(jì)出來的損失概率的穩(wěn)定性和真實(shí)性越高。所以，保險(xiǎn)人承保的保險(xiǎn)標(biāo)的的數(shù)量越大，保險(xiǎn)人根據(jù)大數(shù)定律厘定的保費(fèi)越準(zhǔn)確，財(cái)務(wù)穩(wěn)定性越強(qiáng)，經(jīng)營危險(xiǎn)越小。 貝努利大數(shù)定律 假設(shè)某一隨機(jī)事件 A在第一次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率為 pl，在第二次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率為 p2， …… ，在第 n次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率為 pn。同樣用 nA來表示此事件在 n次試驗(yàn)中發(fā)生的次數(shù)，則根據(jù)普阿松大數(shù)定律對于任意的 ?0，有 1li m 21 ??????? ????????n pppnnP nAn? 普阿松大數(shù)定律的意思是說：當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)無限增加時，其平均概率與觀察結(jié)果所得的比率將無限接近。 普阿松大數(shù)定律運(yùn)用于保險(xiǎn)經(jīng)營上，可以說明，盡管各個相互獨(dú)立的危險(xiǎn)單 位的損失概率可能各不相同，但只要有足夠多的標(biāo)的，仍可在平均意義上求出相 同的損失概率。為了有足夠多的標(biāo)的，便于運(yùn)用大數(shù)定律，可以把性質(zhì)相近的標(biāo) 的集中在一起，求出一個整體的費(fèi)率。 返回 普阿松大數(shù)定律 保險(xiǎn)費(fèi)率的構(gòu)成 保險(xiǎn)費(fèi)是投保人為獲得經(jīng)濟(jì)保障而繳納給保險(xiǎn)人的費(fèi)用。保險(xiǎn)費(fèi)由純保險(xiǎn)費(fèi)和附加保險(xiǎn)費(fèi)構(gòu)成。純保險(xiǎn)費(fèi)主要用于保險(xiǎn)賠付支出。附加保險(xiǎn)費(fèi)主要用于保險(xiǎn)業(yè)務(wù)的各項(xiàng)營業(yè)支出，其中包括營業(yè)稅、代理手續(xù)費(fèi)、企業(yè)管理費(fèi)、工資及工資附加費(fèi)、固定資產(chǎn)折舊費(fèi)以及企業(yè)盈利等。 保險(xiǎn)費(fèi)率是保險(xiǎn)費(fèi)與保險(xiǎn)金額的比例，保險(xiǎn)費(fèi)率又被稱為保險(xiǎn)價(jià)格，通常以每百元或每千元的保險(xiǎn)金額應(yīng)繳的保險(xiǎn)費(fèi)來表示。但作為保險(xiǎn)價(jià)格的保險(xiǎn)費(fèi)率是不同于其他商品的價(jià)格的。因?yàn)楸ｋU(xiǎn)人制定費(fèi)率時主要依據(jù)的是過去的損失和費(fèi)用統(tǒng)計(jì)記錄，在此基礎(chǔ)上對即將發(fā)生的損失及費(fèi)用進(jìn)行預(yù)測，而不是以已保標(biāo)的已經(jīng)發(fā)生損失的資料為基礎(chǔ)。 同樣，保險(xiǎn)費(fèi)率一般由純費(fèi)率與附加費(fèi)率兩部分組成。純費(fèi)率又稱凈費(fèi)率，它是用來支付賠款或保險(xiǎn)金的費(fèi)率，其計(jì)算依據(jù)因險(xiǎn)種的不同而不同。財(cái)產(chǎn)保險(xiǎn)純費(fèi)率的計(jì)算依據(jù)是損失概率，人壽保險(xiǎn)純費(fèi)率計(jì)算的依據(jù)是利率和生命表。附加費(fèi)率是附加保費(fèi)與保險(xiǎn)金額的比率。把純費(fèi)率和附加費(fèi)率加總起來，就構(gòu)成了保險(xiǎn)費(fèi)率。 保險(xiǎn)費(fèi)率厘定的基本原則 保險(xiǎn)人在厘定費(fèi)率時要遵循權(quán)利與義務(wù)平衡的原則，具體包括以下幾點(diǎn)： (1)公平合理原則。公平有兩方面的含義，對保險(xiǎn)人來說，其收取的保費(fèi)應(yīng)與其承擔(dān)的危險(xiǎn)相當(dāng)，對投保人來說，其負(fù)擔(dān)的保費(fèi)應(yīng)與被保險(xiǎn)人獲得的保障相對稱；但公平原則只能在一定程度上得以貫徹，想達(dá)到絕對的公平是不可能的。合理是指保險(xiǎn)費(fèi)率的制定應(yīng)盡可能合理，保費(fèi)的多少應(yīng)與保險(xiǎn)種類、保險(xiǎn)期限、保險(xiǎn)金額相對應(yīng)，保險(xiǎn)人不能為追求超額利潤而制定高費(fèi)率。 (2)充分原則。充分原則是指收取的保費(fèi)在支付賠款及合理的營業(yè)費(fèi)用、稅收后，仍有一部分利潤。可見，充分原則要求保費(fèi)的厘定應(yīng)確保保險(xiǎn)人的 償付能力。如果保費(fèi)過低，就會降低保險(xiǎn)人的償付能力，結(jié)果使保險(xiǎn)人的經(jīng)營處于一種不穩(wěn)定狀態(tài)、不利于其穩(wěn)健發(fā)展。在競爭激烈的保險(xiǎn)市場上，為了提高自己的競爭力，保險(xiǎn)人常常不惜降低保險(xiǎn)費(fèi)率以招徠顧客，結(jié)果導(dǎo)致盲目競爭。為了貫徹充分原則，避免惡性競爭，許多國家都對保險(xiǎn)費(fèi)率進(jìn)行管制，以保證償付能力。 (3)相對穩(wěn)定原則。是指在一定時期內(nèi)應(yīng)保持費(fèi)率的穩(wěn)定。穩(wěn)定的費(fèi)率，有利于保險(xiǎn)機(jī)構(gòu)核算。對投保人來說，穩(wěn)定的費(fèi)率可使其支出確定，免遭費(fèi)率變動之苦；反之，如果費(fèi)率經(jīng)常上漲，盡管保險(xiǎn)人可以獲得一定的利潤，但勢必激起投保人的不滿，以至于逐步減少對保險(xiǎn)的購買。如果保險(xiǎn)費(fèi)率呈 下降趨勢，投保人也將會減少保險(xiǎn)購買，以等待一個更低的價(jià)格。可見，不穩(wěn)定的價(jià)格會給保險(xiǎn)機(jī)構(gòu)的經(jīng)營活動帶來負(fù)面影響，因此，在厘定費(fèi)率上，要遵循相對穩(wěn)定原則。但這一原則并不是指保險(xiǎn)費(fèi)率一成不變，當(dāng)危險(xiǎn)環(huán)境、保險(xiǎn)責(zé)任以及保險(xiǎn)需求狀況發(fā)生變化時，費(fèi)率應(yīng)及時改變。 (4)促進(jìn)防災(zāi)防損原則。指保險(xiǎn)費(fèi)率的厘定應(yīng)有利于促進(jìn)防災(zāi)防損。具體說，對注重防災(zāi)防損工作的被保險(xiǎn)人采取較低的費(fèi)率。貫徹這一原則有兩個好處：其一，減少了保險(xiǎn)人的賠付支出；其二，減少了整個社會財(cái)富的損失。 財(cái)產(chǎn)保險(xiǎn)費(fèi)率的厘定是以損失概率為基礎(chǔ)的，它先通過對保額損失率和均方差的計(jì)算求出純費(fèi)率，然后再計(jì)算附加費(fèi)率。 財(cái)產(chǎn)保險(xiǎn)費(fèi)率的厘定 保險(xiǎn)額損失率是指保險(xiǎn)損失賠償額占承保保險(xiǎn)金額的比率，它是確定純費(fèi)率的數(shù)理根據(jù)。 保險(xiǎn)風(fēng)險(xiǎn)為損失的不確定性。怎樣把“不確定”測算出確定的數(shù)值，就需要運(yùn)用數(shù)學(xué)原理。從一個單位看風(fēng)險(xiǎn)與損失，災(zāi)害或者發(fā)生，或者不發(fā)生；災(zāi)害發(fā)生了，也許有經(jīng)濟(jì)損失或者無經(jīng)濟(jì)損失，損失程度大小不等。從多數(shù)單位來看風(fēng)險(xiǎn)與損失，對相同類型的若干個單位，經(jīng)過一定時間的考察，根據(jù)統(tǒng)計(jì)資料就會得知影響保險(xiǎn)額損失率的因素有： 第一，保險(xiǎn)事故發(fā)生的頻率，即保險(xiǎn)標(biāo)的發(fā)生保險(xiǎn)事故的次數(shù) (用 c表示 )與全部承保的保險(xiǎn)標(biāo)的的件數(shù) (用 a表示 )的比率，用 c/a表示。 第二，保險(xiǎn)事故的損毀率，即被災(zāi)保險(xiǎn)標(biāo)的的件數(shù) 保險(xiǎn)額損失率的確定 (d)與保險(xiǎn)標(biāo)的發(fā)生保險(xiǎn)事故的次數(shù) (c)的比率，用 d/c表示。 第三，保險(xiǎn)標(biāo)的的損毀程度，即保險(xiǎn)賠償額 (f)與被災(zāi)保險(xiǎn)標(biāo)的的保險(xiǎn)額 (e)的比率，用 f/e表示。 第四，被災(zāi)保險(xiǎn)標(biāo)的的平均保險(xiǎn)額 e/d與全部保險(xiǎn)標(biāo)的平均保險(xiǎn)額 b/a的比率，用 (e/d)/(b/a)表示。 上述四個因素，對于保險(xiǎn)的賠償有著內(nèi)在的聯(lián)系，其相乘積即為保險(xiǎn)額損失率。用公式表示如下： 保險(xiǎn)額損失率＝ (c/d)(d/c)(f/e)[(e/d)/(b/a)] 或 =(f/d) 100﹪ [例 1l 保險(xiǎn)標(biāo)的的件數(shù) (a)10,000件 全部保險(xiǎn)標(biāo)的的保險(xiǎn)金額 (b)40， 000， 000元 發(fā)生保險(xiǎn)事故的次數(shù) (c)20次 被災(zāi)保險(xiǎn)標(biāo)的的件數(shù) (d)30件 被災(zāi)保險(xiǎn)標(biāo)的的保險(xiǎn)金額 (e)132， 000元 保險(xiǎn)賠償?shù)慕痤~ (f)48， 000元 四個指標(biāo)的數(shù)值為： 保險(xiǎn)事故的頻率＝ 20/10， 000=002(說明每 1， 000件保險(xiǎn)標(biāo)的有 2次遭到了保險(xiǎn)事故 ) 保險(xiǎn)事故的損毀率＝ 30/20=1． 5(說明每一次保險(xiǎn)事故損毀 1． 5件保險(xiǎn)標(biāo)的 ) 保險(xiǎn)標(biāo)的損毀程度＝ 48,000/132， 000＝ 0． 36(說明被災(zāi)保險(xiǎn)標(biāo)的的價(jià)值減少了 36％，尚有 64％的未損價(jià)值 ) 被災(zāi)保險(xiǎn)標(biāo)的平均保險(xiǎn)額與全部保險(xiǎn)標(biāo)的平均保險(xiǎn)額比值 =(132,000/30)/(40,000,000/10,000)=(說明被災(zāi)保險(xiǎn)標(biāo)的的平均保險(xiǎn)額高于全部保險(xiǎn)標(biāo)的的平均保險(xiǎn)額的10％ ) 保險(xiǎn)額損失率的計(jì)算如下： 保險(xiǎn)額損失率＝ ＝ (％。 ) 或保險(xiǎn)額損失率＝ (48,000/40,000,000) l,000‰ 。 ＝ ‰ 利用兩個公式，計(jì)算的保險(xiǎn)額損失率的結(jié)果是一樣的。它是每一保險(xiǎn)金額單位保險(xiǎn)賠償額的平均數(shù)值，即平均保險(xiǎn)額損失率。 例 年度 保額損失率 ‰ 年度 保額損失率 ‰ 1977 4 1982 1978 1983 1979 1984 1980 1985 1981 1986 5 某保險(xiǎn)公司某項(xiàng)業(yè)務(wù)歷年的保額損失率 已知?dú)v年的保額損失率如下表： 求純保險(xiǎn)費(fèi)率？ ? ?5121?????????nXXnXXniinii? 純費(fèi)率是用于彌補(bǔ)被保險(xiǎn)人因保險(xiǎn)事故而造成的損失的金額，它的計(jì)算公式是： 純費(fèi)率＝保額損失率＋（ 1或 2）標(biāo)準(zhǔn)差 保額損失率是賠償金額與保險(xiǎn)金額的比值，標(biāo)準(zhǔn)差是對以保額損失率作為純費(fèi)率的修正。 保額損失率＝賠償金額／保險(xiǎn)金額 100﹪ ? ?00000022}3{}2{}{.998 )3(,977 )2(,841 )1(),(~][???????????????????????????XPXPXPNXnXX則查表知若注意標(biāo)準(zhǔn)差財(cái)產(chǎn)保險(xiǎn)純費(fèi)率的計(jì)算 附加費(fèi)率的計(jì)算 附加費(fèi)率與營業(yè)費(fèi)用密切相關(guān)。附加費(fèi)率的計(jì)算公式為： 附加費(fèi)率＝營業(yè)費(fèi)用開支總額／保險(xiǎn)金額 100﹪ 財(cái)產(chǎn)保險(xiǎn)的毛保險(xiǎn)費(fèi)是由純保險(xiǎn)費(fèi)和附加保險(xiǎn)費(fèi)構(gòu)成的，其計(jì)算公式為： 毛保險(xiǎn)費(fèi)＝純保險(xiǎn)費(fèi)＋附加保險(xiǎn)費(fèi) 練習(xí) 根據(jù)過去 5年的各年保險(xiǎn)額損失率計(jì)算平均保險(xiǎn)額損失率。各年保險(xiǎn)額損失率的統(tǒng)計(jì)數(shù)字如下： 年數(shù) l 2 3 4 5 指標(biāo) ‰ 求純費(fèi)率？ ? ?00000020001，即純保費(fèi)應(yīng)為 ???????????XnXXnXXnii 大數(shù)法則應(yīng)用于保險(xiǎn)，最重要的結(jié)論之一是：在有足夠多的標(biāo)的物時，實(shí)際損失結(jié)果與預(yù)期損失結(jié)果的誤差將很小。保險(xiǎn)經(jīng)營利用大數(shù)法則，就是要把不確定的數(shù)量關(guān)系向確定的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化，而確定性的大小，決定了上述誤差的大小，即確定性越大誤差越小，確定性越小誤差越大。那么，標(biāo)的數(shù)要達(dá)到多大才能滿足確定性的需要呢 ?或者說，如何測定一定確定性要求下的“大數(shù)”呢 ? 有必要簡單考察一下確定性的內(nèi)在涵義。假定有100個風(fēng)險(xiǎn)單位，每個單位發(fā)生損失的概率 p=，如果實(shí)際損失服從二項(xiàng)分布，則可知期望損失次數(shù)為 30次，且實(shí)際損失在 21— 39次幅度內(nèi)的可能性為 95％。對于 “大數(shù)”的確定 知道實(shí)際損失 2139次的可能性為 95％是滿意的，但這一范圍與預(yù)期損失有 9個單位的絕對誤差，占總數(shù)的 9％，這一出入是相當(dāng)大的，仍不易把握實(shí)際損失。這說明，單純知道某一結(jié)果的發(fā)生概率，并不能達(dá)到不確定性向確定性的轉(zhuǎn)變，還必須考慮實(shí)際損失變動與標(biāo)的總數(shù)的比率，這個比率越小，確定性就越好。例如，如果實(shí)際損失變動與標(biāo)的總數(shù)的比率為 2％，而實(shí)際損失在這一變動范圍的可能性為 95％，則可以肯定地說，在平均每100個風(fēng)險(xiǎn)單位中，實(shí)際損失次數(shù)在 2832次的概率為 95％。這是一個相當(dāng)確定的數(shù)量關(guān)系，有利于保險(xiǎn)公司制定公正、合理的費(fèi)率。前面的比率為 9％，顯然是因?yàn)闃?biāo)的數(shù)不夠大的原因。 在一定的要求之下，“大數(shù)”由下面的公式來測定： N=S2p(1p)/E2 其中， N—— 在一定條件下應(yīng)具有的風(fēng)險(xiǎn)單位數(shù)。E—— (相對于預(yù)期損失次數(shù)而言的 )實(shí)際損失變動次數(shù)與總數(shù)的比率，表示所需要的精確度。 S—— 實(shí)際損失與預(yù)期損失相差的標(biāo)準(zhǔn)差的個數(shù)。 S的值可以說明對所獲得的結(jié)果的信賴程度。例如， S=1，由此公式所測定的損失次數(shù)，具有 68％的信賴度；如