概率統(tǒng)計(jì)復(fù)習(xí)概要考試必備-資料下載頁(yè)
2024-10-04 18:48本頁(yè)面
【正文】 從而，分布函數(shù)與特征函數(shù)一一對(duì)應(yīng). 定理3收斂定理） 設(shè)是隨機(jī)變量列，X是隨機(jī)變量；的分布函數(shù)為，特征函數(shù)為；則， 對(duì)F的每個(gè)連續(xù)點(diǎn)x的充要條件是， 對(duì)每個(gè)t. 例 1）設(shè)，求特征函數(shù)上式求導(dǎo)和分步積分得 即 連同初始條件f(0)=1, 解這個(gè)微分方程，便求得標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的特征函數(shù)為 還可以用復(fù)分析中的圍道積分法求出這個(gè)特征函數(shù). 的奇數(shù)階矩顯然為0，而偶數(shù)階矩可以對(duì)上式求階導(dǎo)數(shù)得出： 2）設(shè)，則，故Y的特征函數(shù)為 3）設(shè)X，Y相互獨(dú)立，. Z=X+Y的特征函數(shù)為這就證明了正態(tài)分布的一個(gè)常用的加法性質(zhì)：.四 極限定理1切貝雪夫不等式1)若為非負(fù)隨機(jī)變量，且期望存在，則，有 2)設(shè)X為隨機(jī)變量，期望與方差都存在，則，有 2大數(shù)定律 設(shè)是相互獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量列，設(shè)X1的二階矩存在. 令Sn=X1+……Xn, 則對(duì)有 這時(shí)我們稱(chēng)Sn/n依概率收斂于p，記為 推論 (貝努利（Bernoulli）大數(shù)定律，它弄清楚了頻率與概率的極限關(guān)系) 在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，設(shè)事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為p. 令 , 當(dāng)A在第次試驗(yàn)發(fā)生， =0, 當(dāng)A在第次試驗(yàn)不發(fā)生于是 是n次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的總次數(shù)，而就是頻率。我們有，，故有上述大數(shù)定律得 這時(shí)我們稱(chēng)頻率依概率收斂于概率p，記為 3 中心極限定理 1)（積分極限定理，De MoivveLaplace）有= 其中服從二項(xiàng)分布B(n,p) 。故有近似公式 De MoivveLaplace定理是如下Levy定理的特例.2)（Levy）設(shè)是相互獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量列，設(shè)，記，；則，有== 4局部極限定理 ( De MoivveLaplace）設(shè),，為常數(shù). 則當(dāng)，對(duì)的k，一致的有 = 5 泊松極限律(當(dāng)二項(xiàng)分布的很大, 很小時(shí)，它與泊松分布 (其中) 很接近)當(dāng)固定時(shí)，有 即 18
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