概率統(tǒng)計(jì)復(fù)習(xí)概要（考試必備）(文件)
【正文】 分布函數(shù)，. 命題1 設(shè)為離散型隨機(jī)變量，Xk取值于, .則相互獨(dú)立的充要條件為 對,(2)的左端也就成為的聯(lián)合概率分布.注 如果隨機(jī)向量服從二維正態(tài)分布， 相互獨(dú)立的充要條件為.命題2 設(shè)為連續(xù)型隨機(jī)變量，聯(lián)合密度為，Xk的邊緣密度為，則相互獨(dú)立的充要條件為= 6 隨機(jī)變量函數(shù)的分布在許多問題中需要計(jì)算隨機(jī)變量或隨機(jī)向量的函數(shù)的概率分布. 例如無線電接收中，收到信號是一隨機(jī)變量，這個(gè)信號通過平方檢波器，輸出的信號是，我們需要計(jì)算隨機(jī)變量的分布. 又如在統(tǒng)計(jì)物理中，已知分子速度的分布，需要求分子動能的分布. 在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中推導(dǎo)統(tǒng)計(jì)量的概率分布也屬于這類問題. 因此，無論在理論上還是在實(shí)踐上這類問題都有重要意義. 1 )問題的一般提法：設(shè)n維隨機(jī)向量的聯(lián)合分布是,而 其中 都是n元函數(shù)（數(shù)學(xué)上要求這些函數(shù)Borel可測，本書不深入討論）.試求m維隨機(jī)向量的聯(lián)合分布函數(shù) .理論上這個(gè)問題并不難，令 則 = =于是當(dāng)X有聯(lián)合分布密度時(shí)＝這就歸結(jié)為計(jì)算一個(gè)n重積分問題. 然而在很多情況下計(jì)算這個(gè)積分并不容易..以上的方法可導(dǎo)出求隨機(jī)變量的函數(shù)的分布的有用的變換公式. 為簡明起見，以下定理僅對二維情形陳述，n維情形是類似的.命題 設(shè)隨機(jī)向量有聯(lián)合密度；,設(shè)DR2是區(qū)域，使得；設(shè)變換的值域?yàn)镚，且是一一變換；又設(shè)f1,f2連續(xù)可導(dǎo)，于是存在唯一的反函數(shù)，令Y1=,Y2=,則隨機(jī)變量具有聯(lián)合密度 （5）證 這是微積分中的重積分變換公式的明顯推論.附注 如果存在多個(gè)反函數(shù)g(k)(y1,y2)， 則（5）的右端第一式改為 （6）2）和，差，積，商的分布 設(shè)二維隨機(jī)向量（X,Y）的聯(lián)合密度為p(x,y)，則隨機(jī)變量， ， 的密度分別為 = = 3） 各種加法性質(zhì)（1）如果X,Y相互獨(dú)立，且,；則X+Y~（2）如果X,Y相互獨(dú)立，且,；則(3)設(shè),獨(dú)立，且， ,，則.(4)設(shè)相互獨(dú)立，且,。若, 則稱為已知A發(fā)生的條件下事件B的條件概率。以上是柯爾莫哥洛夫提出的概率空間的公理體系。即.對立事件 ，即不發(fā)生.若，稱 , 互不相容，即 , 不可能同時(shí)發(fā)生. 這時(shí)可記. （一般記，不論是否相容）運(yùn)算規(guī)律交換律 .結(jié)合律 .分配律 .對偶律 .對偶律可以推廣到有限或無限個(gè)事件的情形，例如，對事件有 , 上面的其他運(yùn)算規(guī)律也有類似的推廣。而全空間稱為必然事件，記為。一 事件與概率 1 隨機(jī)試驗(yàn)，隨機(jī)事件及其運(yùn)算。概率論概要（2007－12－22）概率論——研究隨機(jī)現(xiàn)象數(shù)量規(guī)律的數(shù)學(xué)分支，有較長的歷史。 在一定條件下，其結(jié)果不能預(yù)先確定而可以重復(fù)進(jìn)行的試驗(yàn)稱為隨機(jī)試驗(yàn)。事件的關(guān)系與運(yùn)算以下引進(jìn)事件的關(guān)系和運(yùn)算. 既然事件是集合，故事件也遵守集合運(yùn)算的規(guī)則. 以下設(shè) 為事件.“事件 在某次試驗(yàn)中發(fā)生”，用集合論的語言就是，其中為這次試驗(yàn)的結(jié)果.包含關(guān)系 意味：發(fā)生，必發(fā)生. 即 .
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