【正文】 A B x y?????即 由式 ()可知 2 0 2 0 0 , 0 s i n 0nnA B C m a? ? ?和 由此可見，與分離常數(shù) ? 相關(guān)的待定常數(shù) mn 取值應(yīng)為 π ( 1 , 2 , 3 , )nnmna??1ππ( , ) s i n s i n hnnn x n yx y Daa???? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ??將式 ()代入上式，則得 m 1ππs i n s i n s i n h πnnnxx D naa?????? ?????于是，由比較系數(shù)法得 m1 ( 1 )s in h π0 ( 1 )nDn?? ????? ??? 故本題所含本征值 ，對(duì)應(yīng)的本征函數(shù)為 和 。這樣，最終的待求電位 ?(x,y)的確定解為 1πm a? πsin xa πsinh ya() m ππ( , ) s in s in hs in h πx y x yaa?? ?() 所以 其相應(yīng)的等位線分布如圖 。 a 圖 長直接地金屬槽的橫截面圖 ?=?m O a x y ?=?m ?=?m ?=?m A? A ?=0 ?=0 D ?=0 值得指出，鑒于場分布的對(duì)稱性，本例分析也可壓縮在 場域內(nèi)進(jìn)行，當(dāng)然，這時(shí)定解條件需作相應(yīng)變化 (應(yīng)引入對(duì)稱線 AA?條件： )。尤其在數(shù)值求解法應(yīng)用中， 這樣的處理方法 將顯著地提高計(jì)算效率及其經(jīng)濟(jì)性。 2D0AAn??? ?? 例 一長直接地金屬槽的橫截面如圖 ，其側(cè)壁與底面電位均為零，而頂蓋電位 ?＝ ?0。求槽內(nèi)的電位分布。 為確定待定的 En，對(duì)于上式的處理方法，除書例 213中的處理方法外，尚可按在區(qū)間 [?l， l]上展開 傅里葉正弦級(jí)數(shù)的系數(shù) bn 的計(jì)算關(guān)系式，即 [解 ]本例數(shù)學(xué)模型構(gòu)造同前例 ， 僅定解條件 [式 ()]需改為如下形式的定解條件 : 0 ( 0 , )x a y a??? ? ? ?顯然，分離變量法的求解過程也與前例類同，式 ()應(yīng)改為 011ππs i n s i n h π s i nnnnnn x n xD n Eaa????????? () () 1π( ) s i nnnnxf x ba??? ?02 π( ) s in dlnnxb f x xll? ?計(jì)算之。 為此，對(duì)于本例，可延拓 x 的區(qū)間為 [?a， a]，這樣可得 0000002 π 2 π πsi n d si n dπ4()2( 1 c os π) ππ0 ( )aann x a n x n xExa a a n a ann nnn??????? ? ? ??????? ? ? ?????為奇數(shù)為偶數(shù)從而，最終的待求電位 ?(x,y)的確定解為 01 , 3 ,4 1 ππ( , ) s i n s i n hπ s i n h πnnnx y x yn n a a???? ?() 其相應(yīng)的等位線分布如圖 。 圖 長直接地金屬槽的橫截面圖 ?＝ 0 ?＝ 0 D ?＝ 0 O a a x y ?＝ ?0 ?0 ?0 ?0 ?0 (3)圓柱坐標(biāo)系中的平行平面場問題 ( ) (4)圓柱坐標(biāo)系中的軸對(duì)稱場問題 當(dāng)場域結(jié)構(gòu)如圖 ， 對(duì) z 軸呈旋轉(zhuǎn)對(duì)稱分布特征時(shí) ， 則如圖選擇圓柱坐標(biāo)系 ， 待求場函數(shù) ?(?， ?， z)= ?(?， z)， 僅與圓柱坐標(biāo)變量 ?、 z相關(guān) 。 此時(shí) ， 應(yīng)用分離變量法 ， 設(shè)試探解 ?(?， z)＝ R(?)Z(z),代入拉普拉斯方程 ?2?＝ 0， 即可將給定的偏微分方程分離為兩個(gè)常微分方程聯(lián)立求解的問題 。 應(yīng)指出 ， 這時(shí)對(duì)應(yīng)于函數(shù) R(?)的常微分方程的解答不能應(yīng)用初等函數(shù)予以表達(dá) ，而必須歸結(jié)為一類 特殊函數(shù) (貝塞爾函數(shù) )的表述式 。 zD?1?? ?3?? ?02?? ?1?? ?2?? ?O?圖 圓柱對(duì)稱的軸對(duì)稱場結(jié)構(gòu) (5)球坐標(biāo)系中的軸對(duì)稱場問題 當(dāng)場域結(jié)構(gòu)如圖 ，對(duì) z 軸呈旋轉(zhuǎn)對(duì)稱分布特征時(shí)，則如圖選擇球坐標(biāo)系，待求場函數(shù) ?(r， ?， ?)= ?( r， ? )，僅與球坐標(biāo)變量 r、 ? 相關(guān)。此時(shí)，應(yīng)用分離變量法，設(shè)試探解 ?( r， ? )＝ R(r)H(? ),代入拉普拉斯方程 ?2?＝ 0，即可將給定的偏微分方程分離為兩個(gè)常微分方程聯(lián)立求解的問題。 應(yīng)指出，這時(shí)對(duì)應(yīng)于函數(shù) H(? )的常微分方程的解答不能應(yīng)用初等函數(shù)予以表達(dá)，而必須歸結(jié)為一類 特殊函數(shù) (勒讓特函數(shù) )的表述式。 zxya02?? ?E0??D2D1PO1?2?圖 球形域的軸對(duì)稱場結(jié)構(gòu) 四、 鏡像法及其應(yīng)用 (1) 鏡像 法 (Method of Images， 簡稱 IM )： 用位于場域邊界外虛設(shè)的較簡單的鏡像電荷分布來等效替代該邊界上未知的較為復(fù)雜的電荷分布，從而將原含該邊界的非均勻媒質(zhì)空間變換成無限大單一均勻媒質(zhì)的空間，使分析計(jì)算過程得以明顯簡化的一種間接求解法。 (2) 鏡像法應(yīng)用的理論基礎(chǔ) —— 靜電場解的惟一性定理 在導(dǎo)體形狀、幾何尺寸、帶電狀況和媒質(zhì)幾何結(jié)構(gòu)、特性不變的前提條件下，根據(jù)惟一性定理 ( )，只要找出的解答滿足在同一泛定方程下問題所給定的邊界條件，那就是該問題的解答，并且是惟一的解答。鏡像法正是巧妙地應(yīng)用了這一基本原理、面向多種典型結(jié)構(gòu)的工程電磁場問題所構(gòu)成的一種有效的解析求解法 (3) 鏡像法應(yīng)用的關(guān)鍵點(diǎn) ● 鏡像電荷的確定 (鏡像電荷的位置、個(gè)數(shù)及其電量大小“三要素” )； ● 等效求解的“有效場域”。 (4) 鏡像法應(yīng)用的示例 例 點(diǎn)電荷與無限大接地導(dǎo)電平面系統(tǒng)電場鏡像法的應(yīng)用原理 。 [分析 ] 以大地上方輸電線電場 、 雷電云形成的大氣電場 、 電力線路對(duì)有線通信線路的干擾等工程問題為背景 ， 典型化的基本問題可歸結(jié)為無限大接地導(dǎo)板上方點(diǎn)電荷激發(fā)的電場問題 ， 如圖 。 必須明確指出 ， 對(duì)于這一典型問題 ， 其場分布 ?(r)既不可能在已知場源分布情況下求解 ， 也不可能運(yùn)用疊加原理或高斯定理等直接求解法得出其解析解 。 因此 ， 基于場的惟一性定理 ， 啟示我們可否采用別的間接求解法來求得該典型問題的場分布 ?(r)？ 為此 ， 考察如圖 (b)所示的一對(duì)相距 2h， 位于無限大單一介質(zhì) ?0 空間中的正 、負(fù)電荷 q 所激發(fā)的電場 。 現(xiàn)分析其上半空間的電場是否等同于原問題 [圖 (a)]的點(diǎn)電荷 — 接地導(dǎo)板系統(tǒng)的電場 ？ x y h D P ( x,y,z ) 0 ? O q 圖 點(diǎn)電荷 — 接地導(dǎo)板系統(tǒng) x 0 2 → S 0 1 2 ? ▽ ? h 0 ? D O q y x 0 2 → S h 0 ? D q y h 0 ? q → S∞ S 1 → S∞ S 1 0 2 2 ? ▽ ? (a)原問題 (點(diǎn)電荷 接地導(dǎo)板系統(tǒng) ) (b)被考察問題 (一對(duì)正 、 負(fù)電荷的電場問題 ) O 圖 鏡像法應(yīng)用原理分析 設(shè)：如圖 ， 包圍點(diǎn)電荷 q 與平面 (y =0)作一閉合面 S1， 并令 S1趨向于無限大 ， 即 S1 ? S?。 同時(shí) ， 包圍點(diǎn)電荷 q作一微小的閉合面 S2 ， 并令 S2 ?0， 向點(diǎn)電荷 q 收縮 。 這樣 ， 所論場域 D 的邊界面為 (S1 + S2)。 令圖 (a)、 (b)兩問題待求電位函數(shù)解分別為 ?1和 ?2， 由此分析如下： 1)在同樣由 S S2圍成的場域 D內(nèi) (上半空間 )， 泛定方程均滿足拉普拉斯方程： ?2?1＝ 0 和 ?2?2＝ 0 ； 2)關(guān)于邊界面上邊界條件的分析： ? 邊界面 S1上的 BC： 已知 ；而由 ?q 兩電荷的疊加效應(yīng) ， 顯而易見 ， 。 ? 邊界面 S2上的 BC： 在 S2 ?0向點(diǎn)電荷 q收縮的極限情況下，可將 S2面看作導(dǎo)體表面，即 S2為等 位面，且 q 值可看作該等位面上自由電荷面密度 ? ＝ Dn 的通量值。因此 有 11 0S? ? 12 0S? ?對(duì)原問題： 對(duì)被考察問題： 22110Co n st.dSSSqn???? ??????? ???22220 dSSSqn???? ???? ??? ???Const. 顯然，對(duì)比兩問題的分析結(jié)果可見，電位函數(shù) ?1和 ?2滿足同一泛定方程 (拉普拉斯方程 )，且在邊界面 (S1+S2)上，滿足相同的第一類 BC( )和相同的第二類 BC ( )，因此，根據(jù)場的惟一性定理，必有 ?1＝?2＝ ? 成立無疑。 1112 0SS????221200SSnn?????? ?? 某指定值 基于以上分析結(jié)果，其結(jié)論是： 點(diǎn)電荷 — 接地導(dǎo)板系統(tǒng)的電場 [圖 (a)]可由相應(yīng)的如圖(b)所示的上半空間的電場予以等效替代。換句話說，原問題導(dǎo)板上未知的感應(yīng)電荷的分布可用置于場域邊界外虛設(shè)的點(diǎn)電荷 (q)來等效代替，該虛設(shè)的點(diǎn)電荷 (q)位于給定的點(diǎn)電荷 q的對(duì)稱位置 (鏡像位置 )，故特稱其為給定電荷 q的 鏡像電荷 。從而，這一以等效變換為內(nèi)核構(gòu)成的間接求解法即稱之為 鏡像法 。必須強(qiáng)調(diào)指出的是，在上述鏡像法處理中，對(duì)應(yīng)于原問題導(dǎo)板下方 E=0 的非指定的求解域，應(yīng)等效地置換為導(dǎo)板上方同樣的媒質(zhì)。也就是說，鏡像法處理的電場為一無限大單一均勻媒質(zhì)空間中的電場問題，分析計(jì)算過程由此得以明顯簡化，但 解答的有效區(qū)域 僅為與原問題對(duì)應(yīng)的上半空間，即如圖 (a)、 (b)所示對(duì)應(yīng)的陰影區(qū)域。此外，對(duì)于本例，確定鏡像電荷的 “ 三要素 ” ，其結(jié)果顯而易見為 ①鏡像位置；② 1個(gè)鏡像電荷；③與原電荷等電量、異號(hào)。 [討論 ] 依例 ， 不難逐一分析討論以下各類鏡像法的應(yīng)用原理： l 電軸與無限大接地導(dǎo)電平面系統(tǒng)的電場 ( )； l 電軸法 ()節(jié)； l 點(diǎn)電荷與無限大介質(zhì)平面系統(tǒng)的電場 ( )； l 點(diǎn)電荷與導(dǎo)體球系統(tǒng)的電場 ( )； 對(duì)此，教材在 “ 習(xí)題解析與解答 ” 中還繼續(xù)展開了相應(yīng)的闡述。 例 基于例 ，可推廣應(yīng)用鏡像法于以下各類問題的求解： ?0 q q IM IM q (a) 點(diǎn)電荷 — 接地的直角導(dǎo)板系統(tǒng) ?0 ?0 q q 0 ? 0 ? q q (b)鏡像法的兩次應(yīng)用圖示 0 ? 0 ? (1) 點(diǎn)電荷 — 接地的直角導(dǎo)板系統(tǒng) 鏡像法 (IM)應(yīng)用的圖示如圖 。 (2)點(diǎn)電荷 — 角形邊界的接地導(dǎo)板系統(tǒng) ( ) (3)點(diǎn)電荷 — 兩無限大平行接地導(dǎo)板系統(tǒng) 鏡像法 (IM)應(yīng)用的圖示如圖 。根據(jù)應(yīng)用原理，所得結(jié)果為一連續(xù)鏡像電荷的序列，但因隨著連續(xù)鏡像電荷的生成，其位置越來越遠(yuǎn)離求解場域 D，故問題是收斂的。換言之，可僅取對(duì)兩導(dǎo)板 3～ 4次連續(xù)鏡像處理而生成的有限個(gè)鏡像電荷與原電荷合成的電場，便能以足夠的計(jì)算精度逼近于原問題的電場。 圖 鏡像法推廣應(yīng)用之一 . 0 ? 0 ? 0 ? D D q q q q q h 1 h 1 h 2 h 2 h 1 39。 （連續(xù)應(yīng)用） h 1 39。 h 2 39。 0 ? q h39。 2 （ a）點(diǎn)電荷 兩無限大平行接地導(dǎo)板系統(tǒng) (b)連續(xù)鏡像法 圖 鏡像法推廣應(yīng)用之三 對(duì)于多導(dǎo)體系統(tǒng)，每個(gè)導(dǎo)體的電位不僅與導(dǎo)體本身電荷有關(guān)，同時(shí)還與其他導(dǎo)體上的電荷有關(guān)，顯然，這是因?yàn)橹車鷮?dǎo)體上電荷的存在必然影響周圍空間場的分布。因此，基于多導(dǎo)體系統(tǒng)中電荷與電位之間的關(guān)聯(lián)性 (節(jié) )，工程上定義了兩兩導(dǎo)體間的相互電容，即 部分電容 的概念。關(guān)于兩類部分電容：① 自有部分電容 (i=1,2