機(jī)電控制工程第1章-資料下載頁(yè)
2025-08-23 14:33本頁(yè)面
【正文】 曲線(xiàn)。 本例是一個(gè) 2 2的多輸入多輸出系統(tǒng)，因此最優(yōu)控制信號(hào)是二維的。 Q是狀態(tài)變量的加權(quán)矩陣， R是控制信號(hào)的加權(quán)矩陣，其意義是衡量二者在性能指標(biāo) J里的權(quán)重。除了要求它們必須是正定矩陣之外沒(méi)有什么特殊要求。不過(guò)不同 Q和 R會(huì)得出不同的代數(shù) Riccati方程的解，進(jìn)而會(huì)得出不同的最優(yōu)控制信號(hào) u（ t）。 ? 求解過(guò)程： ? 本例的解題步驟分為以下幾步： ? 1．求解代數(shù) Riccati方程 ? 調(diào)用 care()函數(shù)可以很快得到代數(shù) Riccati方程的解。程序如下 : ? 結(jié)果：系統(tǒng)的代數(shù) Riccati方程的解為 2．求解系統(tǒng)的最優(yōu)控制信號(hào) 根據(jù)最優(yōu)控制信號(hào)的表達(dá)式： 得到系統(tǒng)的代數(shù) Riccati方程的解之后可以求出最優(yōu)控制信號(hào)的變化曲線(xiàn)，其中，狀態(tài)反饋矩陣 K等于： 緊接上一步，輸入以下代碼： 得到系統(tǒng)的二維最優(yōu)控制信號(hào)如圖 1— 19所示。 圖 1． 19最優(yōu)控制信號(hào)變化曲線(xiàn) 從圖 l— 19中可以看出 ， 在階躍輸入下 ， 控制信號(hào)基本上在 0． 5s。 0． 7s左右就趨于穩(wěn)定 ， 也就是說(shuō) ， 系統(tǒng)的過(guò)渡過(guò)程時(shí)間不會(huì)大于這個(gè)值 。 當(dāng)然 ，在實(shí)際的控制系統(tǒng)中 ， 最優(yōu)信號(hào)的值是不必我們手工計(jì)算的 ， 只需求出狀態(tài)反饋矩陣 ， 也就是最優(yōu)控制器即可 。 3．系統(tǒng)對(duì)輸入的響應(yīng)曲線(xiàn) 緊接上一步，在 MATLAB Command Window鍵入下列語(yǔ)句即可獲得圖 ： 圖 1． 20系統(tǒng)對(duì)第一個(gè)輸入量的階躍響應(yīng)曲線(xiàn) 圖 1 ． 21 系統(tǒng)對(duì)第二個(gè)輸入量的階躍響應(yīng)曲線(xiàn) 這里求解系統(tǒng)的閉環(huán)參數(shù)矩陣時(shí)用的是 A+B*K而不是 A B*K，這是因?yàn)樵谟?jì)算狀態(tài)反饋矩陣 K時(shí)已經(jīng)包含負(fù)號(hào)了。從圖 ，系統(tǒng)的過(guò)渡過(guò)程時(shí)間都在0． 5s一 0． 7s之間 . 使用線(xiàn)性二次型最優(yōu)控制器進(jìn)行控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)和校正的最大優(yōu)點(diǎn)就是不必根據(jù)要求的性能指標(biāo)確定閉環(huán)極點(diǎn)的位置，只需根據(jù)系統(tǒng)的響應(yīng)曲線(xiàn)尋找出合適的狀態(tài)變量和控制量的加權(quán)矩陣即可。因?yàn)榍蟮玫目刂破魇钦`差指標(biāo) J 最優(yōu)意義下的控制器，所以系統(tǒng)的性能也是 J 指標(biāo)意義下最優(yōu)的。 某倒立單擺系統(tǒng)如圖 ， 其中小車(chē)的質(zhì)量為 M=，倒立單擺的質(zhì)量為 m=，小車(chē)的摩擦系數(shù)為 b=，端點(diǎn)與倒立單擺質(zhì)心的距離為 l=，倒立單擺的慣量為 I=㎡ ，輸入量 u=F是施加在小車(chē)上的外力，四個(gè)狀態(tài)變量分別是小車(chē)的坐標(biāo) x， x的一階導(dǎo)數(shù)，倒立單擺的垂直角度 θ，及 θ的一階導(dǎo)數(shù)。輸出的被控量分別是小車(chē)的坐標(biāo) x和倒立單擺的垂直角度 θ。試根據(jù)誤差指標(biāo)最優(yōu)意義下最優(yōu)的規(guī)則設(shè)計(jì)線(xiàn)性二次型最優(yōu)控制器和相關(guān)的參考輸入以及觀(guān)測(cè)器，滿(mǎn)足以下指標(biāo) : (1)輸出量 x和 θ 的過(guò)渡過(guò)程時(shí)間小于 2 s， (2)輸出量 x的上升時(shí)間小于 s (3)輸出量 θ 的超調(diào)量小于 20186。( rad/s)。 下面首先需要建立倒立單擺系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型： 圖 122倒立單擺系統(tǒng)示意圖 ? 假設(shè) θ很小 , sinθ≈ θ, cos θ≈ 1。 ? 忽略推導(dǎo)過(guò)程 ,可得出 倒立單擺系統(tǒng) 的狀態(tài)方程： 圖 123原系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線(xiàn) 系統(tǒng)有一個(gè)右半平面的極點(diǎn)，因此不穩(wěn)定，必須加入校正裝置。此時(shí)系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線(xiàn)如圖 1． 23所示。 圖 1— 23上半部分是小車(chē)坐標(biāo) X的階躍響應(yīng)曲線(xiàn)，下半部分是倒立單擺的垂直角度①的階躍響應(yīng)曲線(xiàn)。從圖中可以看出它們都不穩(wěn)定，談不上與期望的性能指標(biāo)作比較。下面加入 LQ校正裝置。 2．線(xiàn)性二次型最優(yōu)控制器設(shè)計(jì) ? 設(shè)計(jì)線(xiàn)性二次型最優(yōu)控制器關(guān)鍵是選擇加權(quán)矩陣 Q。一般說(shuō)來(lái)， Q選擇的越大，系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)所需的時(shí)間越短，當(dāng)然，還要實(shí)際的系統(tǒng)允許。我們首先選擇 Q=C39。 C， ? R = 1， 然后根據(jù)實(shí)際情況進(jìn)行調(diào)節(jié)。輸入以下代碼： ? ％ Q和 R矩陣的選擇 ? x=1。 圖 初次加入 LQ優(yōu)化校正后系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線(xiàn) 從圖 l． 25中可以看到，系統(tǒng)響應(yīng)的快速性得到了明顯的改善，上升時(shí)間和過(guò)渡過(guò)程時(shí)間都滿(mǎn)足最初設(shè)計(jì)的要求，但小車(chē)的穩(wěn)態(tài)值尚不令人滿(mǎn)意，這是因?yàn)橐话阏f(shuō)來(lái)，經(jīng)過(guò)線(xiàn)性二次型最優(yōu)化方法設(shè)計(jì)的控制器投入使用前還要設(shè)計(jì)參考輸入和狀態(tài)觀(guān)測(cè)器，不再在此處討論。 圖 125 加入 LQ優(yōu)化校正后系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線(xiàn) 作業(yè) 1 ? 。 ? M=,單擺質(zhì)量為m=,擺桿的半長(zhǎng)為 I=,小車(chē)運(yùn)動(dòng)的阻尼系數(shù) b=,倒立單擺的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 I=ml2/3。 試?yán)?matlab設(shè)計(jì)該倒立單擺系統(tǒng)的線(xiàn)性二次型最優(yōu)控制器 .
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