【正文】 )(2121rxJxmT ?? ??系統(tǒng)勢(shì)能 212V kx?不計(jì)摩擦 ， 系統(tǒng)機(jī)械能守恒 。 于是有 2221 1 12 2 2xT V m x J k xr??? ? ? ? ????? 常數(shù)將 方程 等號(hào)兩側(cè)對(duì) x求導(dǎo) ， 得到 0)( 2 ??? kxxrJm ??? 機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ) ? 單自由度系統(tǒng)振動(dòng)模型的建立 等效質(zhì)量與等效剛度 剛體系統(tǒng) 的 等效質(zhì)量與等效剛度系數(shù) TSINGHUA UNIVERSITY 0)( 2 ??? kxxrJm ??此即與剛體系統(tǒng)等效的單自由度系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程 。 剛體系統(tǒng)的等效質(zhì)量與等效剛度分別為 2eq rJmm ??eqkk?上述運(yùn)動(dòng)微分 方程也可以 寫(xiě)成標(biāo)準(zhǔn)形式 02 2 ??? xJmr krx?? 2n 0xx???? 機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ) ? 單自由度系統(tǒng)振動(dòng)模型的建立 等效質(zhì)量與等效剛度 剛體系統(tǒng) 的 等效質(zhì)量與等效剛度系數(shù) TSINGHUA UNIVERSITY 02 2 ??? xJmr krx?? 2n 0xx???系統(tǒng)的固有頻率 Jmrkrn ?? 2?? 機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ) ? 單自由度系統(tǒng)振動(dòng)模型的建立 等效質(zhì)量與等效剛度 剛體系統(tǒng) 的 等效質(zhì)量與等效剛度系數(shù) TSINGHUA UNIVERSITY 通過(guò)以上分析 ， 可以看出 ， 只要能寫(xiě)出單自由度 等效系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程 ， 即可順利求出系統(tǒng)的等效質(zhì)量和等效剛度系數(shù) 。 反之 ， 如果已知系統(tǒng)的等效質(zhì)量和等效剛度或系統(tǒng)的固有頻率 ， 也可以得到系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程 。 ? 機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ) ? 單自由度系統(tǒng)振動(dòng)模型的建立 等效質(zhì)量與等效剛度 TSINGHUA UNIVERSITY ? 結(jié)論與討論 返回 第 16章 質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué) TSINGHUA UNIVERSITY ? 結(jié)論與討論 ? 確定物體運(yùn)動(dòng)時(shí)初始條件的重要性 ? 牽連慣性力與科氏慣性力 ? 能量法在確定振動(dòng)系統(tǒng)固有頻率中 的應(yīng)用 TSINGHUA UNIVERSITY ? 結(jié)論與討論 ? 確定物體運(yùn)動(dòng)時(shí)初始條件的重要性 TSINGHUA UNIVERSITY ? 結(jié)論與討論 ? 確定物體運(yùn)動(dòng)時(shí)初始條件的重要性 在解決動(dòng)力學(xué)第二類(lèi)問(wèn)題時(shí)可用積分法求解 ， 即求運(yùn)動(dòng)微分方程的解 。 求解問(wèn)題時(shí)列出的運(yùn)動(dòng)微分方程一般為三個(gè)二階微分方程 ， 以直角坐標(biāo)形式的運(yùn)動(dòng)微分方程為例 ， 方程為 ???????????????niizniiyniixFzmFymFxm??????等式的右端為力函數(shù) ， 若力函數(shù)比較復(fù)雜 ， 往往求不出方程的解析解 ， 只能求近似解或數(shù)值解 。 目前我們僅討論可求出解析解的一些簡(jiǎn)單問(wèn)題 。 TSINGHUA UNIVERSITY 對(duì)上式積分后 ， 得到帶積分常數(shù)的通解 ， 一般表示為 ,n n nix iy izi i im x F m y F m z F? ? ?? ? ?????????),...,(),...,(),...,(621621621ccctzzccctyyccctxx其中 六個(gè)積分常數(shù) 需要由質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的初始條件確定 。 正確的寫(xiě)出質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的初始條件此時(shí)就顯得極為重要 。 ? 結(jié)論與討論 ? 確定物體運(yùn)動(dòng)時(shí)初始條件的重要性 TSINGHUA UNIVERSITY 初始條件就是質(zhì)點(diǎn)的初位置和初速度 ， 初始條件一般寫(xiě)為 0 0 00 0 00 ,x y zx x y y z ztx v y v z v? ? ? ????? ? ? ??時(shí) 可見(jiàn)一個(gè)質(zhì)點(diǎn)若受相同的力作用 ， 但是如果初始條件不同 ，質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)將會(huì)不同 。 例如重力場(chǎng)中的單擺 ， 若在平衡位置附近由靜止無(wú)初速釋放 ， 則擺作微幅振動(dòng)；若初速度非常大 ， 擺的偏角很大 ， 擺可作圓周運(yùn)動(dòng) 。 初學(xué)者在分析和處理這一類(lèi)問(wèn)題時(shí) ， 一定要重視運(yùn)動(dòng)的初始條件 ， 結(jié)合具體問(wèn)題認(rèn)真總結(jié)運(yùn)動(dòng)初始條件對(duì)運(yùn)動(dòng)規(guī)律的影響 。 ? 結(jié)論與討論 ? 確定物體運(yùn)動(dòng)時(shí)初始條件的重要性 TSINGHUA UNIVERSITY ? 結(jié)論與討論 ? 牽連慣性力與科氏慣性力 TSINGHUA UNIVERSITY ? 結(jié)論與討論 ? 牽連慣性力與科氏慣性力 當(dāng)我們晃動(dòng)栓在繩上的小球 ， 我們會(huì)明顯地感到手上受到向外的拉力；當(dāng)我們坐在轉(zhuǎn)彎的汽車(chē)上 ， 我們會(huì)感受到一種試圖讓我們沖出車(chē)廂的力量； ......；這樣的例子在生活中舉不勝舉 。 我們感受到的這些力就是慣性力 。 這些力均表示為 aF m??I牽連慣性力和科氏慣性力是慣性力家族中的成員 ， 它們分別與牽連加速度 、 科氏加速度有關(guān) 。 TSINGHUA UNIVERSITY ? 結(jié)論與討論 ? 牽連慣性力與科氏慣性力 計(jì)算慣性力時(shí) ， 可以先分析出牽連加速度和科氏加速度 ， 然后乘以質(zhì)量 m再加上負(fù)號(hào) 。 如果在圖形上慣性力已與加速度方向相反 ， 則不必再另加負(fù)號(hào) 。 關(guān)于慣性力的進(jìn)一步分析將在以后的章節(jié)中繼續(xù)討論 。 TSINGHUA UNIVERSITY ? 結(jié)論與討論 ? 能量法在確定振動(dòng)系統(tǒng) 固有頻率中的應(yīng)用 TSINGHUA UNIVERSITY ? 結(jié)論與討論 ? 能量法在確定振動(dòng)系統(tǒng) 固有頻率中的應(yīng)用 本章的分析結(jié)果表明 ， 只要求出振動(dòng)系統(tǒng)的固有頻率 ， 即可確定振動(dòng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程以及相應(yīng)的通解 。 現(xiàn)在介紹能量法在計(jì)算固有頻率中的應(yīng)用 。 當(dāng)單自由度系統(tǒng)作自由振動(dòng)時(shí) ， 均可簡(jiǎn)化為圖示彈簧－質(zhì)量系統(tǒng) ， 它的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為 )s in ( ?? ?? tAx n因而任意時(shí)刻系統(tǒng)的動(dòng)能 (kiic energy)為 )(c o s2121 2222 ??? ??? tAmmvT nn以系統(tǒng)的靜平衡位置為零勢(shì)能點(diǎn) ， 則系統(tǒng)的勢(shì)能 (potential energy)為 m g xxkV ???? ])[(21 st22st ??TSINGHUA UNIVERSITY ? 結(jié)論與討論 ? 能量法在確定振動(dòng)系統(tǒng) 固有頻率中的應(yīng)用 )(c o s2121 2222 ??? ??? tAmmvT nnm g xxkV ???? ])[(21 st22st ??注意到靜平衡時(shí) mgk ?st?)(s in2121 222 ?? ??? tkAkxV n當(dāng)重物到達(dá)振動(dòng)中心時(shí) ， 勢(shì)能為零 ， 動(dòng)能最大為 22m a x 21 AmT n?? 當(dāng)重物到達(dá)偏離中心的極端位置時(shí) ， 其動(dòng)能為零 ， 勢(shì)能最大為 2max 21 kAV ?于是 ， 有 TSINGHUA UNIVERSITY ? 結(jié)論與討論 ? 能量法在確定振動(dòng)系統(tǒng) 固有頻率中的應(yīng)用 22m a x 21 AmT n?? 2max 21 kAV ?由機(jī)械能守恒定律 ， 應(yīng)有 maxmax VT ?2 2 21122nm A k A? ＝由此即可得到系統(tǒng)的固有頻率 mkn ??這 與 前面所得到的結(jié)果完全一致 。 TSINGHUA UNIVERSITY 第 18章 質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué) ? 參考性例題 返回 TSINGHUA UNIVERSITY O P k k ? 開(kāi)有矩形槽的大盤(pán)以等角速度 ?繞 O軸旋轉(zhuǎn)。矩形槽內(nèi)安置物塊 彈簧系統(tǒng)，物塊 P的質(zhì)量為 m， 彈簧的剛度系數(shù)為 k 。初始狀態(tài)下，物塊處于大盤(pán)圓心 O ， 這時(shí)彈簧不變形。 求 ： 物塊的相對(duì)運(yùn)動(dòng)微分方程； 物塊對(duì)槽壁的側(cè)壓力。 ? 參考性例題 ? 例題 1 TSINGHUA UNIVERSITY ? P k k k P x180。 y180。 O x180。 vr aen aIC 解： 非慣性參考系－ O x180。 y180。 動(dòng)點(diǎn)－物塊 P 分析相對(duì)速度和各種加速度： 相對(duì)速度 vr － 沿著 x180。正向 牽連加速度 aen－ 由大盤(pán)轉(zhuǎn)動(dòng)引起 科氏加速度 aIC － 2m?? vr ? 參考性例題 ? 例題 1 TSINGHUA UNIVERSITY FIen F FN FIC 解： 分析質(zhì)點(diǎn) (物塊 )受力： F －彈簧力 F＝ 2k x180。 FN －槽對(duì)物塊的約束力 FIC －科氏力 FIen －法向牽連慣性力 FIen＝ m ?2 x180。 ? 參考性例題 ? 例題 1 ? k k P x180。 y180。 O x180。 vr aen aIC TSINGHUA UNIVERSITY 解： 建立質(zhì)點(diǎn) (物塊 )的相對(duì) 運(yùn)動(dòng)微分方程： xmxkFFxm ????????? 2Ie 2 ???ICN FFym ?????0)2( 2 ????? xmkx ???xmF ??? ?2N? 參考性例題 ? 例題 1 FIen F FN FIC ? k k P x180。 y180。 O x180。 vr aen aIC TSINGHUA UNIVERSITY 解： 計(jì)算結(jié)果分析與討論 0)2( 2 ????? xmkx ???物塊在 x180。＝ 0處的平衡位置 為穩(wěn)定平衡位置。 ? 當(dāng) 時(shí)牽連慣性力小于彈簧的彈性恢復(fù)力， 物塊的相對(duì)運(yùn)動(dòng)為自由振動(dòng)，其固有頻率為 mk22 ??202 ?? ??km? 參考性例題 ? 例題 1 TSINGHUA UNIVERSITY 解： 計(jì)算結(jié)果分析與討論 0)2( 2 ????? xmkx ???? 當(dāng) 牽連慣性力大于彈簧的彈性恢復(fù)力， 物塊不能在 x180。＝ 0處附近作 自由振動(dòng)，物塊在 x180。＝ 0處 的平衡是不穩(wěn)定的。 mk22 ??? 當(dāng) mk22 ?? 牽連慣性力等于彈簧的彈性恢復(fù)力 物塊在 x180。＝ 0處為隨遇的平衡位置。 ? 參考性例題 ? 例題 1 TSINGHUA UNIVERSITY 返回 返回總目錄