【正文】 一旦存在矩陣對稱性，獨立彈性參數(shù)的數(shù)量就減少了（克蘭平，1981）。例如，對于單斜對稱（對稱面）柔度矩陣有形式如下： 有13個彈性常數(shù)。正交對稱（區(qū)分、對稱面）給出9個常數(shù)： 然而，立方體對稱性（同一的、對稱面，與立方體相反面結(jié)合的面一起）只給出三個常數(shù)： 如果我們進一步要求和設(shè)和，那么我們發(fā)現(xiàn)（）的各向同性彈性柔度矩陣。不過，如果巖土工程材料具有一定的組構(gòu)對稱性，減少獨立彈性參數(shù)的數(shù)量，顯然是很方便的，正如料想的那樣，受構(gòu)造力、冰、或人推動的大部分材料，將不再擁有任何這類對稱性，只要有一個域的彈性反應(yīng)，我們應(yīng)該期望要求全部21個彈性參數(shù)獨立。 如果我們選擇將這樣的材料建模成伴有某些限制對稱性的各向同性彈性或各向異性彈性，那么我們不得不分辨到這是對土體和巖石可能不了解的建模結(jié)果。然而，許多土都在橫向范圍區(qū)域內(nèi)沉積，沉積的對稱性基本上是垂直的。從所有水平方向看是一樣的，但橫向剛度預(yù)計將不同于垂直剛度?，F(xiàn)在柔度矩陣的形式為: 并且我們可以寫為： 這被形容為橫向各向同性或六邊形對稱的交叉各向異性。有5個獨立的彈性參數(shù): 和分別是垂直向和水平向不密閉壓縮的楊氏模量；是一個垂直面上的剪切模量()。泊松比及分別是與發(fā)生在正交于壓縮的橫向方向和壓縮的垂直方向的水平方向上的橫向應(yīng)變有關(guān)(，)主軸與儀器軸平行三軸儀的交叉各向異性土的試驗，并沒有給我們?nèi)魏慰赡苄园l(fā)現(xiàn)查實，因為這要求控制施加對試樣垂直和水平面上的剪應(yīng)力。事實上，我們只能確定5個彈性參數(shù)中的3個。如果我們對于垂直軸與三軸儀主軸平行的試樣，就徑向和軸向的應(yīng)力和應(yīng)變書寫()，我們發(fā)現(xiàn)： 柔度矩陣不是對稱的，因為在三軸試驗環(huán)境中，應(yīng)變增量和應(yīng)力增量不是完全共軛的。我們推出：當我們可以分別確定和時，我們可以得到的僅有的另外一個彈性參數(shù)是一個復(fù)合剛度。我們不能將和分離開（林斯等，2000）。另一方面，格拉漢姆和豪斯貝（1983）提出了（）或（）得特殊形式，只用了3個彈性參數(shù)，但對于此交叉各向異性材料，要求5個彈性參數(shù)是相互依賴的。 這是書寫的楊氏模量，在垂直方向楊氏模量，泊松比， 連同第三個參數(shù)。在水平和垂直方向的剛度比是及其他約束關(guān)系： 。對于我們的三軸應(yīng)力和應(yīng)變量，柔度矩陣變?yōu)椋? 其中 并且，剛度矩陣是 其中 剛度和柔度矩陣（以正確選用工作共軛應(yīng)變增量和應(yīng)力增量方式書寫）依然是對稱的—材料依然是彈性的—但非零非對角線計算告訴我們體積作用和剪切作用之間是耦合的。進行純粹的各向同性壓縮試驗時，當我們施加純剪力和剪應(yīng)變時，將產(chǎn)生體積應(yīng)變，不排水試驗的平均有效應(yīng)力將會改變。實際上，不排水試驗的有效應(yīng)力路徑的斜率，形式（） 從我們對孔壓參數(shù) (167。)的定義中,我們發(fā)現(xiàn) 在各向異性存在時，不會為零。第一次研究()僅僅表明對于孔壓參數(shù)有限制， 非常大（＞＞）和非常?。ǎ荆荆r()分別為和，而這表示了依次施加恒定軸向有效應(yīng)力和恒定徑向有效應(yīng)力的有效應(yīng)力路徑。和α之間的聯(lián)系實際是較為含蓄的。 事實上，對于，其關(guān)系其實并不單調(diào)，并且有效應(yīng)力路徑方向超出了明顯的界限 ()。當在或2/3附近取值時(，167。)，從推導(dǎo)得到的α (因而)不是很可靠的。對于，或。這些關(guān)系符合和的預(yù)期范圍，但對于和， ()有奇異的倒轉(zhuǎn)。我們大概預(yù)想的應(yīng)力非線性的主要來源:應(yīng)變反應(yīng)將來自材料的可塑性—并且下部分，我們將繼續(xù)發(fā)展彈塑性本構(gòu)模式。 不過，我們也期待一些真正有彈性性質(zhì)的土體將隨應(yīng)力水平而變化，這可以看作彈性非線形的一個來源。我們把彈性材料作為保守材料—“超彈性”一詞是用來形容這種材料的可能使我們在選取隨應(yīng)力變化模量的任意經(jīng)驗函數(shù)時更加謹慎。 舉例來說， 如果我們假定土體體積彈性模量隨平均有效壓力變化，但泊松比(即剪切模量和體積模量的比值)是恒定的話，我們會發(fā)現(xiàn),，違反熱力學第一定律創(chuàng)造一個永動機，能量將增加(或失去)，這不會是一個保守體系。我們必須找到一種應(yīng)變能()或補充能量密度()函數(shù)，可以通過微分得到可接受的應(yīng)力模量變量。 這樣的補充能量密度函數(shù)能夠從鮑耶斯（1980）描述的非線形彈性模型中推導(dǎo)得到： 其中和是體積模量和剪切模量的參考值，是非線性參數(shù)。柔度矩陣然后可以通過微分導(dǎo)出： 其中。體積作用和剪切作用之間再次是共軛的（對于各向異性模型）。剛度是與廣泛成比例的。 因為柔度現(xiàn)在是隨著應(yīng)力比變化的，對于不排水（純剪切）加荷的有效應(yīng)力路徑不再是直線。實際上，對于提到的情況，有效應(yīng)力路徑為 其中。對于和泊松比，意味的常體積應(yīng)變曲線，—由鮑耶斯對小應(yīng)變回彈彈性參數(shù)測試的路基材料得到的典型值。同樣地，在純體積變形將使剪應(yīng)力發(fā)生一些變化。對于初始狀態(tài) ，這個試驗的有效應(yīng)力路徑為 。經(jīng)常提出的是粘土的彈性體積剛度—體積模量應(yīng)當與平均有效應(yīng)力直接成比例： 。當以對數(shù)壓縮平面（ ）作圖時，其中是比容，這種關(guān)系的結(jié)合顯示粘土的彈性卸載形成一條直線反應(yīng)。但我們要對剪切模作什么假設(shè)呢？如果簡單地以為泊松比為常數(shù)，那么，剪切模量和體積模量的比值是常數(shù), 那么我們將發(fā)現(xiàn)一個非保守物質(zhì)(扎廷斯基等，1978)。 如果我們假定恒定的剪切模量值，獨立的應(yīng)力水平，我們將獲得一個保守的材料，但也許會發(fā)現(xiàn)，我們泊松比在某種高或低應(yīng)力水平呈現(xiàn)令人吃驚的值。再次，我們必須找到一種應(yīng)變或補充能量函數(shù)，會給我們期望的基本模量變化。豪斯柏（1985）建議一個可以接受的應(yīng)變能函數(shù)可為： 更近一步地，這意味著剛度矩陣再次包含顯示變形的體積和剪切元素耦合的對角線量。 可以導(dǎo)出 所以常剪切變形的圖形為常應(yīng)力比的直線（）。常體積（不排水）應(yīng)力路徑為拋物線（）： 這組中所有的拋物線與線相切。這兩種模型中所引入的非線性依然與各向同性彈性相聯(lián)系。彈性參數(shù)隨應(yīng)變而變化，而不是隨方向變化。盡管它往往被猜想為土的非線性很多是來自土的可塑性將在隨后一節(jié)中討論，我們從中看到謹慎地或許可以一種在熱力學上可以接受的方式來說明一些彈性非線性。同樣，大多數(shù)彈塑性模型將包含某種彈性其中往往充滿塑性變形。但可以預(yù)料的是，其中伴有任何塑性剪切的結(jié)構(gòu)變化將導(dǎo)致土體彈性性質(zhì)變化。這種剛度變化的方程式，原則上應(yīng)當是基于微分偶然的發(fā)現(xiàn)彈性應(yīng)變能量密度函數(shù)，因此彈性不應(yīng)違反熱力學定律。很明顯的，允許各向異性彈性剛度演化的應(yīng)變能函數(shù)的發(fā)展是棘手的。許多構(gòu)模式，采取了務(wù)實的超彈性方式和單純定義應(yīng)力狀態(tài)模量或不關(guān)心熱力后果的應(yīng)變狀態(tài)。這可能不引起特定問題除非土體經(jīng)歷的應(yīng)力路徑或應(yīng)變路徑不太反復(fù)循環(huán)。各向異性和非線性均可能偏離簡單各向同性線彈性的假設(shè)。 一個頗為不同的偏離是與非均質(zhì)性有關(guān)的。我們已經(jīng)注意到小規(guī)模的非均質(zhì)性季節(jié)性分層—可能導(dǎo)致在典型樣本的范圍內(nèi)剛度(和其他)性能的各向異性。許多天然及人工土中含有很大的粒徑變化范圍(167。)—冰磧和殘積土中往往在不同土樣基質(zhì)中含有漂石顆粒。如果地質(zhì)系統(tǒng)的規(guī)模比這些漂石的尺寸和空隙大，那么將這種材料看作基本上均勻，是理由充分的。但是，我們?nèi)韵Ｍ_定其性能。 如果我們試圖以地球物理勘探技術(shù)測定原位剪切波速，那么我們可以預(yù)料從發(fā)射源到接收器的最快波將利用大塊堅硬的巖樣顆粒的存在—將具有更高的剛度和因此比周圍土體()更高的剪切波速。接收機將顯示通過這種非均質(zhì)路線最快波的旅行時間。如果堅硬材料在發(fā)射源和接收機間距中占有比例，剪切波速度比為(因此,忽略了密度的差異，剪切模量比是量級)，那么顯剪切波速與土基質(zhì)剪切波速的比值是 推導(dǎo)出的平均剪切模量比土基質(zhì)的剪切剛度大一些，比值為 非均質(zhì)材料的實驗室試驗是不容易的，因為試驗儀器需求比典型的最大粒徑和間隔要大很多，以測得一個真實的平均參數(shù)。在一個小規(guī)模范圍內(nèi)， 繆意爾伍德及庫馬爾(2000)報告了探索高嶺土和細砂礫 (=2毫米) 混合物機械特性的試驗。他們發(fā)現(xiàn)：粘土/砂石系統(tǒng)的所有性能受土基質(zhì)控制。在這個階段，而不是之前，‘硬’顆粒之間的相互作用開始迅速占支配地位。對于＜，那么，這意味著等效剪切剛度與土的剛度矩陣比的比值: 這兩個表達式，（）和（），對于模量比。