【正文】 實驗舉例求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.輸入f1[x_]:=x^32x+1。Plot[{f1[x],f1 39。 [x]},{x,4,4},PlotStyle{GrayLeve1[],Dashing[{}]}].. 觀察函數(shù)的增減與導函數(shù)的正負之間的關系.再輸入Solve[f1 39。 [x]==0,x]則輸出即得到導函數(shù)的零點. 用這兩個零點, 把導函數(shù)的定義域分為三個區(qū)間. 因為導函數(shù)連續(xù), 在它的兩個零點之間, 導函數(shù)保持相同符號. 因此, 只需在每個小區(qū)間上取一點計算導數(shù)值,即可判定導數(shù)在該區(qū)間的正負, 從而得到函數(shù)的增減. 輸入f139。 [1]f139。 [0]f139。 [1]輸出為1,2,1. 說明導函數(shù)在區(qū)間上分別取+,和+. 因此函數(shù)在區(qū)間和上單調(diào)增加, 在區(qū)間上單調(diào)減少.求函數(shù)的極值 求函數(shù)的極值.輸入f2[x_]:=x/(1+x^2)。Plot[f2[x],{x,10,10}].觀察它的兩個極值. 再輸入Solve[f239。 [x]==0,x]則輸出{{x1},{x1}}即駐點為用二階導數(shù)判定極值, 輸入f239。39。 [1]f239。39。 [1]則輸出1/2與1/2. 因此是極小值點, 是極大值點. 為了求出極值, 再輸入f2[1]f2[1]輸出1/2與1/2. 即極小值為1/2, 極大值為1/2.求極值的近似值 求函數(shù)的位于區(qū)間內(nèi)的極值的近似值.輸入f4[x_]:=2 (Sin[2 x])^2+5x*(Cos[x/2])^2/2。Plot[f4[x],{x,0,Pi}].觀察函數(shù)圖形, 發(fā)現(xiàn)大約在附近有極小值, 在和有極大值. 用命令FindMinimum直接求極值的近似值. 輸入FindMinimum[f4[x],{x,}]則輸出{,{x}}. 再輸入FindMinimum[f4[x],{x,}]FindMinimum[f4[x],{x,}]則輸出{,{x}}{,{x}}即得到函數(shù)的兩個極小值和極小值點. 再轉化成函數(shù)y的極大值和極大值點. 兩種方法的結果是完全相同的.證明函數(shù)的不等式先作圖, 輸入Clear[F]。F[x_]:=ArcTan[x]+1/x。Plot[{F[x],Pi/2},{x,4,20},AxesOrigin{4,Pi/},PlotStyle{GrayLeve1[],Dashing[{,}]}].當x趨向于無窮時, 直線是函數(shù)的漸近線. 下面用單調(diào)性證明不等式. 輸入Limit[F[x],xInfinity]則輸出再研究單調(diào)性, 輸入Clear[G]G[x_]:=D[F[x],x]Solve[G[x]==0,x]則輸出{ }即當時, 函數(shù)無駐點. 再輸入N[G[2]]則輸出即當時, 于是函數(shù)單調(diào)減少, 趨向于. 因此,當時, 有實驗習題1. 作函數(shù)及其導函數(shù)的圖形, 并求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值.2. 作函數(shù)及其導函數(shù)的圖形, 并求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值. 注: 為了避免負數(shù)開方出現(xiàn)復數(shù), 輸入時可把函數(shù)y定義為y[x_]:=(x3)*((x8)^2)^(1/3)再進行作圖和求導.3. 作函數(shù)及其二階導函數(shù)在區(qū)間[8,7]上的圖形, 并求函數(shù)的凹凸區(qū)間和拐點.4. 分析利用泰勒展開式近似計算時, 展開點和階數(shù)n對計算結果的影響... 并求方程在該區(qū)間內(nèi)的近似根.. 用命令Nsolve, NRoots和命令FindRoot求方程的近似根.實驗5 拋射體的運動（綜合實驗）引言 Mathematica可以被用來探索各種各樣的可能性,從而能在給定的假設條件下模擬出所,具體在這里就是研究炮彈在沒有空氣阻力情況下的運動. 我們意圖通過這樣一個范例,讓讀者了解如何利用數(shù)學實驗方法來探索一個數(shù)學問題的求解. 在你寫實驗報告時,一定要清楚地解釋你做了什么以及為什么要這樣做,同時逐步熟悉科學報告的寫作方法.問題 根據(jù)偵察,發(fā)現(xiàn)離我軍大炮陣地水平距離10km的前方有一敵軍的坦克群正以每小時50km向我軍陣地駛來,現(xiàn)欲發(fā)射炮彈摧毀敵軍坦克群. 為在最短時間內(nèi)有效摧毀敵軍坦克,要求每門大炮都能進行精射擊,這樣問題就可簡化為單門大炮對移動坦克的精確射擊問題. 假設炮彈,問應選擇怎樣的炮彈發(fā)射速度和怎樣的發(fā)射角度可以最有效摧毀敵軍坦克. 說明 假設不考慮空氣阻力,則炮彈的運動軌跡由參數(shù)方程 ,給出,其中是炮彈發(fā)射的初速度,是炮彈的發(fā)射角,是重力加速度（）. 上面第一個方程描述炮彈在時刻的水平位置,而第二個方程描述炮彈在時刻的垂直位置. 我們假設大炮位于坐標原點（）,軸正向垂直向上,軸水平指向敵軍坦克. 下面先利用Mathematica繪圖命令顯示出炮彈運行的典型軌跡. 輸入 horiz[v_,a_,t_]:=v Cos[a Pi/180] tvert[v_,a_,t_]:=v Sin[a Pi/180] t(1/2) g t^2g=, 發(fā)射角為,輸入 ParametricPlot[{horiz[250,65,t],vert[250,65,t]},{t,0,50},PlotRange{0,5000},AxesLabel{x,y}]得到炮彈運行軌跡的典型圖形（圖51）:圖51實驗報告在上述假設下,進一步研究下列問題: (1) 選擇一個初始速度和發(fā)射角,利用Mathematica畫出炮彈運行的軌跡.(2) 假定坦克在大炮前方10km處靜止不動,應選擇什么樣的發(fā)射角才能擊中坦克？畫出炮彈運行的幾個軌跡圖,通過實驗數(shù)據(jù)和圖形來說明你的結論的合理性.(3) 假定坦克在大炮前方10km處靜止不動,探索降低或調(diào)高炮彈發(fā)射的初速度的情況下,應如何選擇炮彈的發(fā)射角？從上述討論中總結出最合理有效的發(fā)射速度和發(fā)射角. (4) 在上題結論的基礎上,繼續(xù)探索,假定坦克在大炮前方10km處以每小時50km向大炮方向前進,此時應如何制定迅速摧毀敵軍坦克的方案？25