【正文】 月 10日吉林大學(xué)本科生公共數(shù)學(xué)課程教學(xué)大綱 課程編號(hào)：07012450234 課程名稱：數(shù)學(xué)物理方法III 課程英文名稱：Methods of Mathematial Physics III 學(xué)時(shí)數(shù)： 126學(xué)時(shí) 學(xué)分?jǐn)?shù)： 6學(xué)分 適用專業(yè)：電子科學(xué)與工程，地球探測(cè)科學(xué)與技術(shù)，環(huán)境資源工程 開課學(xué)期：第ⅡⅢ學(xué)期 考核方式：期末考試（命題式） 一、 本課程的性質(zhì)、目的和任務(wù) 數(shù)學(xué)物理方法課程是一些對(duì)數(shù)理基礎(chǔ)要求比較高的專業(yè)，如電子科學(xué)與工程中的所有相關(guān)專業(yè)，地球探測(cè)科學(xué)與技術(shù)中的地球物理學(xué)專業(yè)、勘查技術(shù)與工程專業(yè)，環(huán)境資源工程中的水文水資源專業(yè)、水文地質(zhì)與環(huán)境地質(zhì)等專業(yè)的繼高等數(shù)學(xué)之后的一門必修學(xué)科基礎(chǔ)課。 通過本課程的學(xué)習(xí)，要使學(xué)生獲得 （1） 復(fù)變函數(shù)； （2） Fourier變換與Laplace變換； （3） 數(shù)學(xué)物理方程模型的建立； （4） 數(shù)學(xué)物理方程的分離變量解法； （5） 行波法； （6） 積分變換法； （7）Green函數(shù)法。 等方面的基本概念，基本理論和解決工程與物理問題的一些典型的數(shù)學(xué)方法，為學(xué)習(xí)后繼專業(yè)課程和將來從事相關(guān)專業(yè)的科學(xué)研究工作打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。 數(shù)學(xué)物理方法作為一門數(shù)學(xué)課程，將起到聯(lián)系相關(guān)專業(yè)課的紐帶和橋梁的作用，是最能體現(xiàn)數(shù)學(xué)素質(zhì)教育特色的一門課程。在傳授知識(shí)、講授方法的同時(shí)，應(yīng)該特別注重培養(yǎng)學(xué)生的理性思維，分析解決實(shí)際問題的能力和創(chuàng)新意識(shí)的增強(qiáng)與提高。 二、 本課程教學(xué)基本要求 要熟練地掌握下述概念、性質(zhì)、公式、定理及方法： 復(fù)數(shù)的表示法，復(fù)變函數(shù)的概念，復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)性；復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解析函數(shù)的概念，解析函數(shù)的充要條件，初等函數(shù)的解析性；復(fù)變函數(shù)的積分的概念及性質(zhì)，柯西積分定理，復(fù)合閉路定理，柯西積分公式，解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)公式，解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系；冪級(jí)數(shù)及其性質(zhì)，函數(shù)展成泰勒級(jí)數(shù)，函數(shù)展成洛朗級(jí)數(shù)；孤立奇點(diǎn)的類型，零點(diǎn)與極點(diǎn)的關(guān)系，留數(shù)的定義及留數(shù)定理，留數(shù)的計(jì)算準(zhǔn)則，留數(shù)在定積分計(jì)算上的應(yīng)用；導(dǎo)數(shù)的幾何意義與共形映射，分式線性映射及其性質(zhì)，唯一決定分式線性映射的條件。 傅里葉變換的概念，傅里葉變換的基本性質(zhì)，卷積與卷積定理；拉普斯變換的概念，拉普拉斯變換的性質(zhì)，拉普拉斯逆變換，拉普拉斯變換的卷積定理，常微分方程（組）的拉氏變換解法。 熱傳導(dǎo)問題數(shù)學(xué)模型的建立，弦振動(dòng)問題數(shù)學(xué)模型的建立，線性問題的迭加原理和齊次化原理；一維波動(dòng)問題的行波法，三維波動(dòng)方程的球?qū)ΨQ解，降維法與柱面波，波動(dòng)問題解的物理意義；一維問題的分離變量法，非奇次方程的固有函數(shù)展開法；勒讓德多項(xiàng)式及其性質(zhì)，球域Laplace方程的分離變量法；貝賽爾方程及貝賽爾函數(shù)，貝賽爾函數(shù)的遞推公式，函數(shù)展成貝賽爾函數(shù)的級(jí)數(shù)，圓域內(nèi)發(fā)展方程的分離變量法；積分變換法及其綜合應(yīng)用；格林公式， Laplace方程解的唯一性，泊松方程第一邊值問題的格林函數(shù)法，求格林函數(shù)的靜電源象法。 對(duì)教學(xué)內(nèi)容中的其它內(nèi)容也是不可缺少的，只是教學(xué)要求低于上述內(nèi)容。 三、 本課程的教學(xué)內(nèi)容及學(xué)時(shí)分配 1． 復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)（4學(xué)時(shí)） 復(fù)數(shù)在平面上的幾何表示，復(fù)數(shù)的運(yùn)算，復(fù)球面及無窮大；區(qū)域與曲線，復(fù)變函數(shù)的概念，復(fù)變函數(shù)的極限，復(fù)變函數(shù)的連續(xù)性。 2．解析函數(shù)（6學(xué)時(shí)） 復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解析函數(shù)的概念；解析函數(shù)的充要條件；初等函數(shù)。 3． 復(fù)變函數(shù)的積分（8學(xué)時(shí)） 積分的定義，積分的性質(zhì)，積分的計(jì)算；柯西積分定理，復(fù)合閉路定理，不定積分；柯西積分公式；解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)；解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系。 4．級(jí)數(shù)（8學(xué)時(shí)） 復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，冪級(jí)數(shù)；泰勒級(jí)數(shù)；洛朗級(jí)數(shù)及其收斂圓環(huán)，洛朗展開定理。 5．留數(shù)（7學(xué)時(shí)） 孤立奇點(diǎn)的類型，零點(diǎn)與極點(diǎn)的關(guān)系，函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的性態(tài)；留數(shù)的定義及留數(shù)定理，留數(shù)的計(jì)算準(zhǔn)則，在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù)，對(duì)數(shù)留數(shù)；留數(shù)在定積分計(jì)算上的應(yīng)用。 6．共形映射（7學(xué)時(shí)） 導(dǎo)數(shù)的幾何意義與共形映射；分式線性映射，分式線性映射的三種特殊形式，分式線性映射的性質(zhì)，唯一決定分式線性映射的條件；冪函數(shù)映射，指數(shù)函數(shù)映射。 7． 傅里葉變換（8學(xué)時(shí)） 傅里葉級(jí)數(shù)，傅里葉積分與傅里葉變換；單位脈沖函數(shù)的概念及性質(zhì)，δ函數(shù)的傅氏變換；傅里葉變換的基本性質(zhì)，卷積與卷積定理，相關(guān)函數(shù)與能量譜密度；序列的傅里葉變換定義，序列傅里葉變換的性質(zhì)。 8． 拉普拉斯變換（8學(xué)時(shí)） 拉普拉斯變換的定義，拉普拉斯變換存在定理；拉普拉斯變換的性質(zhì)（包括卷積定理）；拉普拉斯逆變換；常微分方程（組）的拉氏變換解法。 9． 數(shù)學(xué)物理方法應(yīng)用問題（一）（6學(xué)時(shí)） 平面場(chǎng)的復(fù)勢(shì)，離散信號(hào)的z變換，模擬信號(hào)的頻率域?yàn)V波，線性時(shí)不變系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述。 10． 數(shù)學(xué)模型（8學(xué)時(shí)） 偏微分方程舉例，基本概念；熱傳導(dǎo)方程的推導(dǎo)，熱傳導(dǎo)方程的定解條件，熱傳導(dǎo)方程的典型定解問題；弦振動(dòng)問題泛定方程的推導(dǎo)，定解條件，波動(dòng)方程典型定解問題；位勢(shì)方程及其定解問題；工程與物理中的數(shù)學(xué)模型舉例；解的適定性概念；二階線性偏微分方程的分類；線性問題的迭加原理和齊次化原理。 11．行波法（8學(xué)時(shí)） 無界弦的自由振動(dòng)，無界弦的強(qiáng)迫振動(dòng)，半無界弦振動(dòng)問題的對(duì)稱開拓法；三維波動(dòng)方程的球?qū)ΨQ解，三維齊次波動(dòng)問題，三維非齊次波動(dòng)問題，降維法與柱面波；波動(dòng)問題解的物理意義。 12．分離變量法（10學(xué)時(shí)） 一維問題的分離變量法；非奇次方程的固有函數(shù)展開法；非奇邊界情形的函數(shù)替換法；二維圓域Laplace方程邊值問題的分離變量法。 13．勒讓德多項(xiàng)式與球域Laplace方程的分離變量法（10學(xué)時(shí)） 球域Laplace方程固有值問題的導(dǎo)出；勒讓德方程的求解與勒讓德多項(xiàng)式；勒讓德多項(xiàng)式的正交性，函數(shù)展成勒讓德多項(xiàng)式的級(jí)數(shù)；球域Laplace方程的分離變量法；連帶的勒讓德多項(xiàng)式。 14． 貝賽爾函數(shù)與柱域內(nèi)定解問題的分離變量法（10學(xué)時(shí)） Г 函數(shù)的定義及性質(zhì)，Г 函數(shù)定義域的擴(kuò)充；圓域內(nèi)熱傳導(dǎo)方程固有值問題的導(dǎo)出；貝賽爾方程及其求解；貝賽爾函數(shù)的遞推公式，貝賽爾函數(shù)的零點(diǎn)，貝賽爾函數(shù)的正交性，函數(shù)展成貝賽爾函數(shù)的級(jí)數(shù)；圓域內(nèi)發(fā)展方程的分離變量法；有限圓柱域Laplace方程的分離變量法；貝賽爾函數(shù)的其它類型（漢克爾(Hankel)函數(shù)，虛宗量的貝賽爾函數(shù)，開爾文(Kelvin)函數(shù)）。 15．積分變換法（6學(xué)時(shí)） 無界域熱傳導(dǎo)方程定解問題的積分變換法；波動(dòng)方程定解問題的積分變換法；高維傅里葉變換的定義及性質(zhì)，高維傅里葉變換的應(yīng)用；積分變換法綜合應(yīng)用舉例。 16．格林(Green)函數(shù)法（6學(xué)時(shí)） 格林公式，牛曼(Neumann)內(nèi)問題有解的必要條件，Laplace方程解的唯一性；格林函數(shù)及其物理意義，泊松(Poisson)方程第一邊值問題的格林函數(shù)法，求格林函數(shù)的靜電源象法；其它邊值問題的格林函數(shù)；無界域波動(dòng)方程的格林函數(shù)與基本解。 17． 數(shù)學(xué)物理方法應(yīng)用問題（二）（6學(xué)時(shí)） 地下水污染質(zhì)擴(kuò)散彌散參數(shù)的測(cè)定，地震波場(chǎng)正演模擬的數(shù)學(xué)描述，電磁場(chǎng)逆散射問題的數(shù)學(xué)描述。 四、 教材及考核方式 （1） 2005年春季學(xué)期之前，使用如下三本教材： 《復(fù)變函數(shù)》（第四版），西安交通大學(xué)高等數(shù)學(xué)教研室編，高等教育出版社出版； 《積分變換》（第三版），南京工學(xué)院數(shù)學(xué)教研組編，高等教育出版社出版； 《數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)》（第二版），南京工學(xué)院數(shù)學(xué)教研組編，高等教育出版社出版； 2005年秋季學(xué)期開始，將使用吉林大學(xué)數(shù)學(xué)中心編寫的《數(shù)學(xué)物理方法》教材。 （2） 兩個(gè)學(xué)期均考試（筆試）。 五、 關(guān)于本大綱的說明 本大綱系根據(jù)吉林大學(xué)2002年制定的新的教學(xué)計(jì)劃中126學(xué)時(shí)《數(shù)學(xué)物理方法》課程設(shè)置，并結(jié)合相關(guān)專業(yè)的實(shí)際情況及以往講授情況制定的。從2001級(jí)開始執(zhí)行本大綱，但在使用本校編寫的新教材之前，兩部分應(yīng)用問題可以不作講授，相應(yīng)的學(xué)時(shí)可酌情分配在其它章節(jié)中，也可作為習(xí)題課