【正文】 b2 = 1,則可設(shè) a = cosθ,b = sinθ(0≤θ2п)
若題目中含有 EMBED 
,則可設(shè) x = cosθ(0≤θ≤п)或設(shè)x = sinθ(－п/2≤θ≤п/2)
若題目中含有 EMBED 
,則可設(shè) x = tanθ(－п/2θп/2)
若題目中含有x + y = r,(其中x 0, y 0), 則可設(shè) x = cosθ, y = sinθ(0≤θ≤п/2)
例7　已知a、b、c、d∈R+, 求證：
　　　 EMBED 

分析：證明不等式常常需要根據(jù)不等式的性質(zhì)對(duì)不等式的一端進(jìn)行“同向”變形，即放大或縮小，這種利用放縮原理證明不等式的方法叫做放縮法。在放縮代換中常用下列變形：
　（1）A＞B，B＞C，則A＞C；
?。?）A＝B，B＞C，則A＞C；
?。?）A＞B，B＝C，則A＞C。
 EMBED 

 EMBED 

變：（1）已知三角形ABC的三邊分別為a、b、c，且m 0 ,求證：
　　 EMBED 

證明一：∵三角形ABC的三邊分別為a、b、c，　∴a + b c
設(shè)a + b = c + k(k 0)
又m 0
 EMBED 

 EMBED 

證法二：構(gòu)造函數(shù)f(x) = x/(x + m) = 1－m/(x + m) (x 0,m 0)

∴f(a) + f(b) = a/(a + m) + b/(b + m)
= a/(a + b + m) + b/(a + b + m) = (a + b)/(a + b + m)
= f(a + b)
∵三角形ABC的三邊分別為a、b、c，　∴a + b c
∵1/(x + m) 在（0，＋∞）是減函數(shù)
∴f(x) = 1－m/(x + m) 在（0，＋∞）是增函數(shù)∴f(a + b) f(c)
即a/(a + m) + b/(b + m)＞c/(c + m)
（2）已知三角形ABC的三邊分別為a、b、c，求證：
 EMBED 

證明：∵三角形ABC的三邊分別為a、b、c，　∴a c + b
不妨設(shè)a≥b≥c,則
 EMBED 
  EMBED 

例8　已知n≥2且n∈N，求證：logn(n－1)logn(n + 1)1
證明：∵n≥2且n∈N，　∴l(xiāng)ogn(n－1)0,logn(n + 1)0,
logn(n－1) ≠logn(n + 1)
∴l(xiāng)ogn(n－1)logn(n + 1) [logn(n－1)+logn(n + 1)]2/4
= [logn(n2－1)]2/4 [lognn2]2/4＝1
即logn(n－1)logn(n + 1)1
例9　已知x、y、z∈（0,1），求證：x(1－y) + y(1－z) + z(1－x) 1
證明：構(gòu)造函數(shù)f(x)= x(1－y) + y(1－z) + z(1－x)－1
即f(x) = (1－y－z)x + y(1－z) + z－1
　　　當(dāng)1－y－z = 0,即y + z = 1時(shí)，
f(x) = y(1－z) + z－1 = y + z －1－yz = －yz 0
當(dāng)1－y－z ≠ 0時(shí)，f(x)為一次函數(shù)，又x∈（0,1），由一次函數(shù)的單調(diào)性，只需證明f(0) 0, f(1) 0
　　∵y、z∈（0,1）
∴f(0) = y(1－z) + z－1 = (y－1)(z－1) 0
f(1) = (1－y－z) + y(1－z) + z－1 =－yz 0
∴對(duì)任意的x∈（0,1）都有f(x) 0
即x(1－y) + y(1－z) + z(1－x) 1
小結(jié)：利用函數(shù)的單調(diào)性來(lái)證明不等式也是一種常用的方法，其關(guān)鍵是要精心構(gòu)造一個(gè)函數(shù)。
變：（1）已知0 a 1/n(n≥2且n∈N),且a2 a－b,求證：b 1/(n+1)
證明：∵a2 a－b　∴　b a－a2 = －(a－1/2)2 + 1/4
設(shè)f(a) = －(a－1/2)2 + 1/4,則f(a)在（0，1/2］是增函數(shù)
又n≥2且n∈N　∴0 a 1/n≤1/2 ∴f(a) f(1/n)
即b －(a－1/2)2 + 1/4 b －(n－1/2)2 + 1/4 = 1/(n+1)
故b 1/(n+1)
（2）若x 0,y 0, x + y =1,求證：(x + 1/x)(y + 1/y)≥25/4
證明：∵x + y =1
∴(x + 1/x)(y + 1/y)= xy + x/y + y/x + 1/xy
= xy + (x2+ y2)/xy + 1/xy = xy + 2/xy－2
∵x 0,y 0, x + y =1 ∴xy ≤(x + y)2/4 = 1/4
設(shè)t = xy ,則t∈(0,1/4］
記f(t)= t + 2/t－2，設(shè)0 t1 t2 ≤1/4
則f(t2)－f(t1)= t2 + 2/t2－2 －（t1 + 2/t1－2）
　　　= [(t2－t1)( t2 t1－2)]/ t2 t1 0
∴f(t)在(0,1/4］上是減函數(shù)
∴f(t)≥f(1/4)= 25/4
即(x + 1/x)(y + 1/y)≥25/4
另證：∵x 0,y 0, x + y =1 ∴設(shè)x = 1/2－t, y = 1/2 + t (－1/2t1/2)
則(x + 1/x)(y + 1/y) = xy + 2/xy－2
= 1/4－t2 + 2/(1/4－t2) －2 = (25/16 + 3t2/2 + t4)/ (1/4－t2)
≥(25/16)/(1/4) = 25/4
即(x + 1/x)(y + 1/y)≥25/4
總結(jié)提煉
數(shù)學(xué)思想：等價(jià)轉(zhuǎn)化
數(shù)學(xué)方法：綜合法、比較法、分析法、平均值法、換元法（三角換元）
知識(shí)點(diǎn)：算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)定理
作業(yè)：P16　復(fù)習(xí)參考題6　9
思考題：
設(shè)abc,且a、b、c滿(mǎn)足等式a+b+c=1,a2+b2+c2=1,求證：（1）1a+b4/3 (2)8/9a2+b21
證明：（1）令a－c=A,b－c=B,由abc得A＞B＞0。
　　　A＋B＝（a－c）＋（b－c）＝（a + b+c）－3c＝1－3c
　　　又(a+b+c)2－（a2+b2+c2）＝2(ab+bc+ca)＝0
　　　∴ab＝－c(a+b)＝－c(1－c)＝－c+c2
∴AB＝（a－c）（b－c）＝ab－c(a+b)+c2＝－2c+3c2
從而A、B是關(guān)于t的方程t2－(1－3c)t+(－2c+3c2)=0的兩個(gè)不等的正根，則其充要條件是 Δ＝(1－3c)2－4(3c2－2c)0
1－3c0－2c+3c20　　?。?/3c1即 c1/3 c0或c2/3于是，有－1/3c0，從而11－c4/3，即1a+b4/3 (2)再由0c21/9得01－(a2+b2)1/9從而8/9a2+b21教學(xué)后記：23