高一數(shù)學(xué)函數(shù)的概念(20xx年11月整理)-資料下載頁
2025-08-16 01:15本頁面
【正文】 ∪ ( － 2 ，＋ ∞ ) 已知 f ( x ) ＝1x ＋ 2(x ≠ － 2 且 x ∈ R ) ， g ( x) ＝ x2＋ 1( x ∈ R ) ． ( 1) 求 f ( 2 ) ， g ( 1) 的值； ( 2) 求 f ( g ( 2) ) 的值； ( 3) 求 f ( x ) ， g ( x) 的值域． 【思路點(diǎn)撥】 由題目可以獲取以下主要信息： ① 函數(shù) f ( x) 、 g ( x) 的解析式確定 ② 求 f ( 2 ) 、 g ( 1 ) 、 f ( g ( 2 ) ) 的函數(shù)值 ③ 根據(jù)解析式求值域． 解答本題中求值問題時，先分清對應(yīng)關(guān)系，再代入求值．求值域問題首先確定定義域． 【 解析 】 ( 1) ∵ f ( x ) ＝1x ＋ 2， ∴ f ( 2 ) ＝12 ＋ 2＝14； 又 ∵ g ( x) ＝ x2＋ 1 ， ∴ g ( 1) ＝ 12＋ 1 ＝ 2. ( 2) f ( g ( 2 ) ) ＝ f ( 22＋ 1) ＝ f ( 5) ＝15 ＋ 2＝17. ( 3) f ( x ) ＝1x ＋ 2的定義域為 {x| x ≠ － 2} ，由函數(shù)圖象知 y ≠ 0 ， ∴ 值域是 ( － ∞ ， 0) ∪ (0 ，＋ ∞ ) ． g ( x) ＝ x2＋ 1 的定義域是 R ，由二次函數(shù)圖象知最小值為 1. ∴ 值域是 [1 ，＋ ∞ ) ． 理解對應(yīng)關(guān)系的實質(zhì)是解答此類問題的關(guān)鍵． ①關(guān)于對應(yīng)關(guān)系 f，它是函數(shù)的本質(zhì)特征，它好比是計算機(jī)中的某個 “ 程序 ” ，當(dāng) f( )中括號內(nèi)輸入一個值時，在此 “ 程序 ” 作用下便可輸出某個數(shù)據(jù)，即函數(shù)值，如 f(x)＝ 3x＋ 5， f表示 “ 自變量的 3倍加上 5” ，如 f(4)＝ 3 4＋ 5＝ 17. ② f(x)與 f(a)， a∈ A(A為定義域 )的區(qū)別與聯(lián)系， f(a)表示當(dāng) x＝ a時的函數(shù)值，是一個值域內(nèi)的值，是常量． f(x)表示自變量為 x的函數(shù)，表示的是變量，如 f(x)＝ 2x，當(dāng) x＝ 3時， f(3)＝ 2 3＝ 6. ③ 求函數(shù)的值域，應(yīng)先確定定義域，樹立定義域優(yōu)先原則，再根據(jù)具體情況求 y的取值范圍． 4. 若本例中題設(shè)條件不變，求 g ( f ( 2 ) ) ， f ( g ( 3 ) )的值． 【 解析 】 ∵ f ( 2) ＝12 ＋ 2＝14， g ( 3) ＝ 32＋ 1 ＝10 ∴ g ( f ( 2 ) ) ＝ f????????14＝????????142＋ 1 ＝1716 f ( g ( 3) ) ＝ f ( 10) ＝110 ＋ 2＝112. 1．函數(shù)符號的理解 (1)對應(yīng)關(guān)系 f是表示定義域和值域的一種對應(yīng)關(guān)系，與所選擇的字母無關(guān)．符號 y＝ f(x)是 “ y是 x的函數(shù) ” 的數(shù)學(xué)表示，應(yīng)理解為： x是自變量，它是對應(yīng)關(guān)系所施加的對象； f是對應(yīng)關(guān)系，它既可以是解析式，也可以是圖象、表格或文字描述． y＝f(x)僅僅是函數(shù)符號，不能理解為 “ y等于 f與 x的乘積 ” ． (2)雖然 f(x)＝ x2和 f(x－ 1)＝ x2等號右邊的表達(dá)式都是 x2，但是，由于 f施加的對象不同 (一個為 x，而另一個為 x－ 1)，因此兩個函數(shù)的解析式是不同的． 2．正確使用區(qū)間符號 區(qū)間是某些數(shù)集的一種重要表示形式，具有簡單直觀的優(yōu)點(diǎn)，因此是表示函數(shù)的定義域、值域及不等式解集的重要工具．應(yīng)用時一定要弄清各種區(qū)間的含義及它們的區(qū)別，如 [－ 1,1]表示 {x|－ 1≤x≤1}，而 [－ 1,1)表示 {x|－ 1≤x＜ 1}等． (1)無窮大是一個符號，不是一個具體的數(shù)．因此不能將 [1，＋ ∞)寫成 [1，＋ ∞]； (2)若 [a， b]是確定區(qū)間，則一定有 a＜ b. 求函數(shù) y ＝ x － 2 x ＋ 2 的定義域． 【 錯解 】 y ＝ x － 2 x ＋ 2 ＝ x2－ 4 ，由 x2－4 ≥ 0 ，得 x ≥ 2 或 x ≤ － 2. ∴ 函數(shù)的定義域為 {x | x ≥ 2 或 x ≤ － 2} ． 【 錯因 】 事實上，函數(shù) y ＝ x － 2 x ＋ 2 與 y ＝x2－ 4 并不表示同一個函數(shù)，求函數(shù)定義域應(yīng)根據(jù)原始條件的制約． 【 正解 】 由??? x － 2 ≥ 0x ＋ 2 ≥ 0，得??? x ≥ 2x ≥ － 2，即 x ≥ 2. ∴ 函數(shù)的定義域為 {x | x ≥ 2} ．
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