第一講--數(shù)系的擴充-資料下載頁
2024-08-24 23:44本頁面
【正文】 的，存在“漏洞”。“洞”是一個無法從自身的結(jié)構(gòu)來定義的概念，但是“洞”在直線上對其他點起到“分割”的作用。 （三）一些無理數(shù)的證明 實數(shù)的鬼魂 ——虛數(shù) 背景 ：當無理數(shù)的位置確定后，人們又發(fā)現(xiàn)即使使用全部的有理數(shù)和無理數(shù)，也不能解決代數(shù)方程的求解問題。 這樣最簡單的二次方程，在實數(shù)范圍內(nèi)沒有解 一、復數(shù)的發(fā)展歷程 12世紀的印度大數(shù)學家 婆什伽羅 都認為這個方程是沒有解的。他認為正數(shù)的平方是正數(shù)，負數(shù)的平方也是正數(shù)，因此，一個正數(shù)的平方根是兩重的；一個正數(shù)和一個負數(shù)， 負數(shù)沒有平方根 ，因此負數(shù)不是平方數(shù)。這等于不承認方程的負根的存在。 16世紀，卡爾達諾的 《 大衍術(shù) 》 第一次大膽使用了 負數(shù)平方根 的概念。使用負數(shù)平方根，就有可能解決四次方程的求解問題。雖然他寫出了負數(shù)的平方根，但他卻猶豫不次，他不得不聲明，這個表達式是 虛構(gòu)的 ， 想像的 ，并且稱它為” 虛數(shù) ”。 “虛數(shù)”這個名詞是 17世紀著名數(shù)學家 笛卡爾 創(chuàng)制，因為當時的觀念認為這是真實不存在的數(shù)字。虛數(shù)，人們開始稱之為“ 實數(shù)的鬼魂 ”，1637年笛卡兒稱為“ 想像中的數(shù) ”，后來發(fā)現(xiàn)虛數(shù)可對應平面上的縱軸，與對應平面上橫軸的實數(shù)同樣真實。 1777年 瑞士 數(shù)學家 歐拉 (Euler)開始使用符號 i表示虛數(shù)的單位。歐拉創(chuàng)立了復變函數(shù)論，并把它們應用到水利學、地圖繪制學上。 1797年，威賽爾給出了 虛線的圖像表示 才確立了虛數(shù)的合理地位。他和阿爾干一起借助于 17世紀法國數(shù)學家笛卡兒建立的平面坐標系，給復數(shù)做出了 幾何解釋 。 高斯 19歲時，通過復數(shù)原理，成功解決了正十七邊形的尺規(guī)作圖問題，同時將 直角坐標平面上的點和復數(shù)建立了一一對應的關系 ，是復數(shù)領域的集大成者。至此虛數(shù)才廣為人知。真是：虛數(shù)不虛。 二、復數(shù)表示和運算 （一）復數(shù)的表示法 二、復數(shù)的運算 應用舉例 （一）復數(shù)的表示法和運算律 （二）解析幾何中復數(shù)表示 （三）復數(shù)單位根及其應用 （四）復數(shù)方法的應用 解法一： 解法二： 例 已知 A為定圓 O外的定點， P為這個圓上的任一點，以 AP為邊作正三角形 APZ（ APZ按順時針方向），求 Z點的軌跡。 練習題
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