復習萬有引力與航天的典型題目-資料下載頁
2025-08-15 23:06本頁面
【正文】 動的飛船對接，然后由飛船送 “ 玉兔 ” 返回地球。設 “ 玉兔 ” 質量為 m ，月球半徑為 R ，月面的重力加速度為 g 月 ，以月面為零勢能面?！?玉兔 ” 在 h 高度的引力勢能可表示為 Ep＝GMmhR （ R ＋ h ），其中 G 為引力常量， M 為月球質量。若忽略月球的自轉，從開始發(fā)射到對接完成需要對 “ 玉兔 ” 做的功為 ( ) 隨堂演練 圖 6 A.mg 月 RR ＋ h( h ＋ 2 R ) B.mg 月 RR ＋ h( h ＋ 2 R ) C.mg 月 RR ＋ h( h ＋22R ) D.mg 月 RR ＋ h( h ＋12R ) 隨堂演練 解析 設玉兔在高度 h 時的速度為 v ，則由萬有引力定律得，GMm（ R ＋ h ）2 ＝m v2（ R ＋ h ）可知，玉兔在該軌道上的動能為 Ek＝ 12GMm（ R ＋ h ），由功能關系可知對玉兔做的功為 W ＝ Ep＋ Ek＝GMmhR （ R ＋ h ）＋12GMm（ R ＋ h ）， 結合在月球表面： GMmR2 ＝ mg 月 ， 整理可知 W ＝mg 月 RR ＋ h( h ＋12R ) ，故選項 D 正確。 答案 D 隨堂演練 突破四 衛(wèi)星的追及相遇問題 某星體的兩顆衛(wèi)星之間的距離有最近和最遠之分，但它們都處在同一條直線上。由于它們的軌道不是重合的，因此在最近和最遠的相遇問題上不能通過位移或弧長相等來處理， 而是通過衛(wèi)星運動的圓心角來衡量 ，若它們初始位置在同一直線上，實際上內軌道所轉過的圓心角與外軌道所轉過的圓心角之差為 π的整數(shù)倍時就是出現(xiàn)最近或最遠的時刻。 隨堂演練 【 例 4】 (多選 )(2022新課標全國卷 Ⅰ ， 19)太陽系各行星幾乎在同一平面內沿同一方向繞太陽做圓周運動 。 當?shù)厍蚯『眠\行到某地外行星和太陽之間 ， 且三者幾乎排成一條直線的現(xiàn)象 ， 天文學稱為 “ 行星沖日 ” 。 據報道 ， 2022年各行星沖日時間分別是： 1月 6日木星沖日； 4月 9日火星沖日； 5月 11日土星沖日； 8月 29日海王星沖日； 10月 8日天王星沖日 。 已知地球及各地外行星繞太陽運動的軌道半徑如下表所示 。 則下列判斷正確的是 ( ) 地球 火星 木星 土星 天王星 海王星 軌道半徑 (AU) 19 30 隨堂演練 2022年內一定會出現(xiàn)木星沖日 ，海王星相鄰兩次沖日的時間間隔最短 解析 設地球的運轉周期為 T 0 、角速度為 ω 0 、軌道半徑為 r 0 ，則其他行星的軌道半徑為 r ＝ kr 0 ① 根據萬有引力定律及牛頓第二定律得：GMmr20＝ mω20 r 0 ② GMmr2 ＝ mω2r ③ 隨堂演練 聯(lián)立 ①②③ 得： ω ＝1k3 ω0。 各行星要再次沖日需滿足： ω0t － ωt ＝ 2π ， 即 t ＝k kk k － 1T0，其中 k ＝ 、 、 、 19 、 30 。 根據上式結合 k 值并由數(shù)學知識可知：行星沖日的時間間 隔一定大于 1 年，并且 k 值越大時間間隔越短，所以選項 B 、 D 正確， A 、 C 錯誤。 答案 BD 隨堂演練 反思提升 對于天體追及問題的處理思路 (1) 根據GMmr2 ＝ mrω2，可判斷出誰的角速度大； (2) 根據兩星追上或相距最近時滿足兩星運行的角度差等于 2π 的整數(shù)倍，相距最遠時，兩星運行的角度差等于 π 的奇數(shù)倍。在與地球上物體追及時，要根據地球上物體與同步衛(wèi)星角速度相同的特點進行判斷。
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