最新版：三角形“四心”的向量表示-資料下載頁
2025-08-15 22:28本頁面
【正文】 的直角三角形，則 O為斜邊 AB上的中點(diǎn)， H與 C重合， 于是得出 m＝ 1. 點(diǎn)評： 這種通過特殊值確定一般性結(jié)果的思路還有很多， 如歸納、猜想、證明的方法，過定點(diǎn)問題，定值 問題也可以用這樣的思路。 例 3.（ 2022全國 Ⅰ 卷理科）第 15題 △ ABC的外接圓圓心為 O，兩條邊上的高的交點(diǎn) 為 H， 則實(shí)數(shù) m = ． ),OC+OB+OA(m=OH也可特取正三角形來思考 ! 解： 若 △ A B C 為 正三角形 ，則其五心合一， 故外心 O 與垂心 H 重合，此時(shí)0,OH ? 又 由 重 心 得0,OA OB OC? ? ? 則 m 可以 為 任意 實(shí)數(shù) ！ 1或 m∈ R .O H O A O B O C???,A D A B C D B C??,.A H B C C H A B? ? ?OCDODCAH ???.O H O A A H O A O B O C? ? ? ? ?參考： 若 O、 H分別是△ ABC的外心和垂心 . 求證 證明 ： 若△ ABC的垂心為 H，外心為 O，如圖 . 連 BO并延長交外接圓于 D，連結(jié) AD， CD. ∴ 又垂心為 H， ∴ AH∥ CD， CH∥ AD， ∴ 四邊形 AHCD為平行四邊形， ∴ 故 想想看？ 4.（ 2022陜西） 已知非零向量 與 滿足 則△ ABC為（ ） A．三邊均不相等的三角形 B．直角三角形 C．等腰非等邊三角形 D．等邊三角形 AB AC1( ) 0 ,2| | | | | | | |A B A C A B A CBCA B A C A B A C? ? ? ? ?且解法一： 根據(jù)四個(gè)選擇項(xiàng)的特點(diǎn)，本題可采用驗(yàn)證法來處理 . 不妨先驗(yàn)證等邊三角形，剛好適合題意，則可同時(shí) 排除其他三個(gè)選擇項(xiàng)，故答案必選 D. D 解法二： 由于 所在直線穿過△ ABC的內(nèi)心，則由 (等腰三角形的三線合一定理 )；又 ， 所以 ,即△ ABC為等邊三角形，故答案選 D. 3A???| | | |A B A CA B A C?( ) 0| | | |A B A C B C A B A CA B A C? ? ? 知 | | = | |12| | | |A B A CA B A C??注 : 等邊三角形 (即 正三角形 )的“外心、垂心、 重心、內(nèi)心、中心 ” 五心合一！ 5. ?222 例 如 圖 , 在 ABC 內(nèi) 求 一 點(diǎn) P, 使 得 : |AP| +|BP| +|CP| 的 值 最 小 .222222222.| | | | | |( ) ( )23 ( ) ( )3m a b m a m bA P B P C Pm m a m babm a b a b? ? ?? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?設(shè) A P = ,A B = ,A C = , 則 B P = ,C P = 3解 :ab ???222當(dāng) m= 時(shí) , 即 P 為 ABC 的 重 心 時(shí) ,3| A P | + | B P | + | C P | 的 值 最 小 .?? 費(fèi) 爾 馬 點(diǎn) ( 即 正 等 角 中 心 當(dāng) |AP|+|BP|+ P 對 三擴(kuò) 展 :頂 點(diǎn) A|CP,B,| 的 值 最 小 時(shí) , 點(diǎn)C 的 張 角 均 為 12P 是ABC0的).A B C P D
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