2-彈性力學、泛函、變分等基本知識-資料下載頁
2025-08-05 19:04本頁面
【正文】 分法基本知識 2022/8/20 有限元法預備知識 30 [變分及其特性 ] 泛函宗量變分 定義 ：對于泛函 Π[y(x)]， y(x)是定義域中的任何元素，取 y(x)y0(x) 稱為 y(x)在 y0(x)上的變分，記作δy=y(x)y0(x) 常用 δy=y(x)y0(x)作為泛函宗量 y(x)的變分。 變分 δy和函數(shù)微分 dy的區(qū)別： 變分 δy反映的是整個函數(shù)的改變 函數(shù)微分 dy反映的是同一函數(shù) y(x)因 x取不同值而產(chǎn)生的差異。 變分法基本知識 2022/8/20 有限元法預備知識 31 xy22( , )xy11( , )xyAB 實例 ：在 xy平面內(nèi)，假設在 AB兩定點連成的曲線上有一質點。此質點在重力的作用下，無摩擦地從 A滑到 B需要一定的時間 T。 ? 2201[ ( ) ] d2x yT y x xgy??? ?? ??? 21 d)](),(,[xx xxyxyxF泛函式常用積分形式表示 xyyFxyFxyyFyyFxxxxdδ)](dd[ 0d]δδ[δ2121???????????????????變分極值條件 [變分及其特性 ] 變分法基本知識 2022/8/20 有限元法預備知識 32 xyyFxx dδ21????? xyyFyyFxx dδ)()δ(21 ?????????? ?)δ(δ ??? yy變分性質 ? ????? 21 dδ)(ddxx xyyFx變分性質 )(δ)(δ 21 xyxy ?xyyFxyFxyyFyyFxxxxdδ)](dd[ 0d]δδ[δ2121???????????????????變分極值條件 0)(dd ??????? yFxyFyδ由于 的任意性 歐拉方程 [變分及其特性 ] 變分法基本知識 xy22( , )xy11( , )xyAB2022/8/20 有限元法預備知識 33 ???????????????????????????????????? tzztyytxxtttt dddddddddd ?????d ()dFxy? ???歐拉方程 0)( ?????????????? ???? yFyFFF yyyyyxy[變分及其特性 ] 變分法基本知識 2 2 22dddd x y y y y yF F y F y F F y F yx y x y x y x ? ? ? ??? ? ? ?? ?? ? ?? ??? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ?2022/8/20 有限元法預備知識 34 0)(dd ??????? yFxyF0)](dd[ ???????? yFxyFy0)(dd ?????? yFyFx2201[ ( ) ] d2x yT y x xgy??? ?CyFyF ??????2212 21y yyCgy g y y? ?? ?????CyFyF ??????2121Cg y y???( s in )(1 c o s )xryr??????? ???co t 2y ?? ?令最速降線 [變分及其特性 ] 變分法基本知識 2022/8/20 有限元法預備知識 35 [李茲法 變分法的求解 ] （ 1）選取未知函數(shù) u 的近似解； ??????niii a1~ auu ?注意：使 u 滿足強制邊界條件。 （ 2）將函數(shù) u 的近似解代入泛函 ? ( u ) : ~ ~ )()~( au ΠΠ ?（ 3）對泛函 ? ( u) 求變分，并令等于零； ~ 0)()~( ?? au ΠΠ ?? 2022/8/20 有限元法預備知識 36 由于 naaa ??? , 21 ?是任意的， 故上式成立時，必有： 0)(,0)(,0)(21?????????niii ΠΠΠaaaaaa ?將上式表示成矩陣形式，有： 0)()~( ?? au ΠΠ ??0)()()()( 2211??????????? nniiiiΠΠΠΠ aaaaaaaaaa ???? ?[李茲法 變分法的求解 ] 2022/8/20 有限元法預備知識 37 0)()()(21?????????????????????????????niiiΠΠΠaaaaaa????aa )( iΠ 其中： ???????????????naaaa?21 得到與待定參數(shù) a 的個數(shù)相等的方程組，由此可求得待定參數(shù) a 。 —— 里茲（ Ritz）法 實例 [李茲法 變分法的求解 ]
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