采用極坐標(biāo)求解彈性力學(xué)平面問題基本問題-資料下載頁
2025-06-07 23:17本頁面
【正文】 體在其頂端受集中力作用，集中力與楔形體的中心線成b 角。設(shè)楔形體為單位厚度，單位厚度所受的力為F，極坐標(biāo)系選取如圖所示通過量綱分析可以確定本問題應(yīng)力函數(shù)的形式。由于楔形體內(nèi)任一點的應(yīng)力分量將與F 成正比，并與a， b，r 和j 有關(guān)。由于F 的量綱為MT2，r的量綱為L1，而a， b 和j 是無量綱的，因此各個應(yīng)力分量的表達(dá)式只能取r 的負(fù)一次冪。而根據(jù)應(yīng)力函數(shù)表達(dá)式其r 的冪次應(yīng)比各應(yīng)力分量r 的冪次高兩次。因此可以假設(shè)應(yīng)力函數(shù)為j 的某個函數(shù)乘以 r 的一次冪。有將上述應(yīng)力函數(shù)表達(dá)式代入變形協(xié)調(diào)方程可得 f ( j ) 所要滿足的方程。即求解上式，可得其中A，B，C和D為待定常數(shù)，將上式代入應(yīng)力函數(shù)表達(dá)式可得由于過且過 為線性項，不影響應(yīng)力分量的計算，因此可以刪去。因此應(yīng)力函數(shù)為楔形體邊界條件由應(yīng)力分量表達(dá)式，可得楔形體的應(yīng)力分量 現(xiàn)在的問題是利用面力邊界條件確定待定常數(shù)。楔形體左右兩邊的面力邊界條件為已經(jīng)自然滿足。此外還有一個應(yīng)力邊界條件：在楔形體頂端附近的一小部分邊界上有一組面力，它的分布沒有給出，但已知它在單位寬度上的合力為F。如果取任意一個截面，例如圓柱面ab，如圖所示則該截面的應(yīng)力分量必然和上述面力合成為平衡力系，因此也就必然和力F形成平衡力系。于是得出由應(yīng)力邊界條件轉(zhuǎn)換而來的平衡條件楔形體應(yīng)力將應(yīng)力分量表達(dá)式代入上式，則積分可得即將常數(shù)C和D代入應(yīng)力分量表達(dá)式則本問題的解答為上述楔形體應(yīng)力在r 等于0時，將趨于無限大。即在載荷作用點的應(yīng)力無限大，解答是不適用的。但是如果外力不是作用于一點，而是按照上述應(yīng)力分布作用于一個小圓弧區(qū)域，上述解答則為精確解。根據(jù)圣維南原理，除了力的作用點附近，解答是有足夠精度的。半無限平面作用集中力在上述楔形體問題中，如果令a＝p，b＝0，則轉(zhuǎn)化為彈性半無限平面作用集中力問題。將a＝p，b＝0代入楔形體應(yīng)力表達(dá)式則彈性半無限平面作用集中力作用的應(yīng)力表達(dá)式為彈性半無限平面作用集中力作用的應(yīng)力場具有以下特點：sr為主應(yīng)力,其余主應(yīng)力為0。在直徑為d，圓心在x 軸并且與y 軸相切于原點O的圓上，由于該圓上任意一點滿足r = dcos j ，所以，圓上任意一點應(yīng)力為 sr=2F/pd。這就是說，圓上任意一點應(yīng)力，除載荷作用點以外，各點應(yīng)力和sr 相同。此圓為等徑向應(yīng)力的軌跡線，稱為壓力泡。由于此圓最大切應(yīng)力 tmax=sr /2=const，因此在光彈性實驗中，又稱為等色線。主應(yīng)力軌跡為一組以坐標(biāo)原點為中心的放射線。最大切應(yīng)力軌跡為一組與主應(yīng)力軌跡夾45度角的曲線，其軌跡為對數(shù)螺線。楔形體受集中力偶作用以下討論楔形體的頂端受有集中力偶作用問題，如圖所示。設(shè)單位寬度的力偶矩為M。根據(jù)和楔形體受集中力相同的量綱分析，可見在各應(yīng)力分量的表達(dá)式中，只能是以 r 負(fù)二次冪出現(xiàn)，因此應(yīng)力函數(shù)表達(dá)式應(yīng)該與 r 無關(guān)。也就是將上式代入變形協(xié)調(diào)方程可得 所要滿足的方程求解這一關(guān)于j 的常微分方程，可得 其中A，B，C和D為待定常數(shù)。求解前，首先作結(jié)構(gòu)分析。由于楔形體頂端作用集中力偶，因此為反對稱結(jié)構(gòu)。其正應(yīng)力應(yīng)為j 的奇函數(shù)，而切應(yīng)力分量應(yīng)為j 的偶函數(shù)。由此可見，A = D = 0，則應(yīng)力函數(shù)簡化為則由極坐標(biāo)應(yīng)力分量表達(dá)式，楔形體的應(yīng)力分量為楔形體受集中力偶作用的應(yīng)力對于楔形體問題，邊界條件要求由應(yīng)力分量表達(dá)式可見，前一條件總能滿足，而后一條件要求C = 2Bcosa同樣考慮ab以上部分的平衡條件，則積分后可得將計算所得的系數(shù)回代應(yīng)力分量表達(dá)式可得大家可以自己證明上述應(yīng)力分量也可滿足以上部分的另外兩個平衡條件，即在楔形體問題中，我們曾假定楔形體頂端所受的力或力偶是集中作用的，因此計算所得的應(yīng)力分量在 r =0處成為無限大。實際上，集中在一點的力或力偶是不存在的，因此也就不會發(fā)生無限大的應(yīng)力。而且，只要面力的集度超過楔形體材料的比例極限，彈性力學(xué)的基本方程將不再適用，因此上述解答也不適用。因此應(yīng)該這樣來理解：楔形體受有一定的面力，這個面力的最大集度是不超過比例極限的，而面力的合力是集中力F或集中力偶M。當(dāng)然面力的分布方式不同，應(yīng)力的分布也不同。但是，按照圣維南原理，不論這個面力是如何分布的，在離開楔形體頂端稍遠(yuǎn)處，應(yīng)力分布都是相同的，也就是和以上所得應(yīng)力分量表達(dá)式相同。36
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