【正文】 級(jí)數(shù)式解答 問(wèn)題的提出 多項(xiàng)式解答： 只能求解載荷 簡(jiǎn)單 ，且 連續(xù)分布 的問(wèn)題。 不能求解載荷 復(fù)雜 ，且 間斷分布 的問(wèn)題。 級(jí)數(shù)式解答： ),( yx?其基本思路是將應(yīng)力函數(shù) 分解成關(guān)于 x． y 的兩個(gè)單變量函數(shù)的乘積。 —— 分離變量法。 （屬逆解法） 1. 級(jí)數(shù)形式的應(yīng)力函數(shù) 假設(shè)： )(s in),( yfxyx ?? ?? (a) 式中： ? 為任意常數(shù)，其量綱為 , ? ?1?長(zhǎng)度 )(yf 為 y 的任意（待定）函數(shù)。 )(s in )2(2224yfxyx ????? ? ???)(s in444yfxx ???? ???)(s in )4(44yfxy ???? ??將其代入 ： 04 ?? ?載荷 復(fù)雜 ，且 間斷分布 的問(wèn)題，可由 級(jí)數(shù)式 解答解決。 有： )(c o s),( 1 yfxyx ??? ??44224444 2yyxx ??????????? ????)(s i n)(s i n2)(s i n )4()2(24 yfxyfxyfx ?????? ?????? ? 0)()(2)(s i n 4)2(2)4( ????? yfyfyfx ???(b) 解上述方程，得 ? ? 0)()(2)( 4)2(2)4( ??? yfyfyf ??其中： A、 B、 C、 D 都是任意常數(shù)， 將其代入應(yīng)力函數(shù) ，得 ?ychyshyB c hysh)( ???? DyCyAyf ????(c) 再取如下應(yīng)力函數(shù)： y)chyshyB c hysh(s i n),( ?????? DyCyAxyx ?????式中： 也為任意常數(shù) , ?? 為 y 的任意（待定）函數(shù)。 )(1 yf類(lèi)似于上面的運(yùn)算，可得應(yīng)力函數(shù)的另一解： (d) 顯然，將式 (c) 與 (d)相加，仍為可作為應(yīng)力函數(shù)： )chshchsh(c o s),( yyDyyCyByAxyx ?????? ??????????????????????????????1)chshchsh(c o smmmmmmmmmm yyDyyCyByAx ?????)chshchsh(s i n),( yDyyCyyByAxyx ?????? ????(e) 取 和 的一系列值，即?。? ? ??? ?? m??,m? )( ??m將由此構(gòu)成的 加起來(lái)，有 ),( yx?)chshchsh(c o s yyDyyCyByAx ????? ?????????????1s in ( s h c h s h c h )m m m m m m m m mmx A y B y C y y D y y? ? ? ? ? ???? ? ? ??(38) 顯然，式 (38) 滿(mǎn)足相容方程，可作為應(yīng)力函數(shù)。且在其上再加若干個(gè)滿(mǎn)足相容方程的應(yīng)力函數(shù)，仍可作為應(yīng)力函數(shù)。 2. 級(jí)數(shù)形式的應(yīng)力分量 將上述應(yīng)力函數(shù) 代入應(yīng)力分量表達(dá)式（ 226），有 ),( yx??????? ??????????????12 ch)2(sh)2(c o smmmmmmmmmmm yCByDAx ???????????? ???????1222ch)2(sh)2(s i nmmmmmmmmmmmx yCByDAxy ?????????yyDyyC mmm mchsh ?? ???????yyDyyC mmm mchsh ?? ?????????122my x ?????????????12mxy yx ????(39) 式（ 39）滿(mǎn)足相容方程、平衡方程，只要適當(dāng)選?。? mmmmmmmmmm DCBADCBA ????? ,。, ??使其滿(mǎn)足邊界條件，即為某問(wèn)題的解。 167。 66 簡(jiǎn)支梁受任意橫向載荷 邊界條件 1. 邊界條件的級(jí)數(shù)表示 上下邊界： ? ? 0?? Hyxy?? ? )(0 xqyy ???? ? ? )(1 xqHyy ????? ? RdyH xxy ?? ?0 0?左右邊界： ? ? 00 ??yxy?? ? 0?? lxx?? ? 00 ??xx?? ? 10 RdyH lxxy ??? ??（ a） （ b） （ c） （ d） 由邊界條件（ c），得 。0???????? mmmm DCBA ),3,2,1( ??? mlmm ??此時(shí)應(yīng)力分量式（ 39）簡(jiǎn)化為 ?????? ????1222ch)2(sh)2(s i nmmmmmx lymmlCBlymmlDAlxmlm ????????????lymyDlymyCmm?? chshlymyClymBlymAlxmlmmmmmy?????? shchshs i n1222???? ??? ???????lymyDm?ch?????? ?????1222ch)(sh)(c o smmmmmxy lymmlDAlymmlCBlxmlm ????????????lymyClymyDmm?? chsh（ 310） 將此應(yīng)力分量式（ 310）代入邊界條件（ b），有 0c o s12 ??????? ????mmm DmlAlxmm?? （ e） ?????? ????12 ch)(sh)(c o smmmmm lHmmlDAlHmmlCBlxmm ?????0chsh ??????lHmHClHmHDmm?? （ f） ? ? 0?? Hyxy?? ? 00 ??yxy? （ b） 0?? mm Dm lA ? （ i） ?????? ??? l HmHl Hmm lCl HmBl HmA mmm ????? chshshch0shch ??????? ?? l HmHl Hmm lD m ???（ j） ? ? )(s in1222xqBl xmmlmm ?????? （ g） ? ? )(0 xqyy ????? ? )(1 xqHyy ????（ a） ?????? ?1m222chshs i nmm lHmBlHmAlxmml????)(chsh 1 xql HmHDl HmHC mm ?????? ?? （ h） 將此應(yīng)力分量式（ 310）代入邊界條件（ a），有 將 )(),( 1 xqxq 在區(qū)間（ 0， l）上展為和等式左邊相同的級(jí)數(shù)，即 lxm?sin的級(jí)數(shù)，由 Fourier級(jí)數(shù)的展開(kāi)法則，有 lxmdxlxmxqlxq ml ?? s i ns i n)(2)(1 0? ??????????lxmdxlxmxqlxq ml ?? s i ns i n)(2)(1 011 ? ??????????（ 311） 比較式（ 311）與式（ g）和（ h）兩邊的系數(shù)，有 ?? lm dxl xmxqlBml 0222s i n)(2 ???? lm dxl xmxqm lB 022 s in)(2 ?? （ k） lHmBlHmAm?? chshm ? lHmHDlHmHCmm?? chsh ???? l dxl xmxqm l 0 122 s in)(2 ??（ l） 由式 (i)、 (j)、 (k)、 (l) 可求得全部和系數(shù)： ，代入式（ 310）求得應(yīng)力分量。 mmmmDCBA ,說(shuō)明： （ 1） 邊界條件（ d）在求解中沒(méi)有用到，但可以證明是自動(dòng)滿(mǎn)足的。 （ 2） 級(jí)數(shù)求解計(jì)算工作量很大，通常由有關(guān)計(jì)算軟件求解，如：MathCAD、 Matlab、 Mathematica等。 （ 3） 結(jié)果在梁的端部誤差較大；另外，當(dāng)梁的跨度與高度相當(dāng)時(shí)結(jié)果誤差也較大。 《 彈性力學(xué)平面問(wèn)題的基本理論 》 小結(jié) 一、兩類(lèi)平面問(wèn)題及其特征 名 稱(chēng) 平面應(yīng)力問(wèn)題 平面應(yīng)變問(wèn)題 未知量 已知量 未知量 已知量 位 移 應(yīng) 變 應(yīng) 力 外 力 幾何形狀 xyyx ??? ,0?? zxyz ??)( yxz E ???? ???xyyx ??? ,0?? zxyz ??0?z?xyyx ??? ,0?? zxyz ??0?z? xyyx??? ,0?? zxyz ??)( yxz ???? ???vu, 0?w vu, 0?w體力、面力的作用面都平行于xoy平面，且沿板厚不變化。 體力、面力的作用面都平行于xoy平面，且沿 z 向不變化。 z 方向的尺寸遠(yuǎn) 小 于板面內(nèi)的尺寸（等厚度薄平板） z 方向的尺寸遠(yuǎn) 大 于 xoy平面內(nèi)的尺寸（等截面長(zhǎng)柱體） 二、平面問(wèn)題的基本方程 （ 1）平衡微分方程 00??????????????YyxXyxyxyyxx????（ 52） （ 假定： 小變形、連續(xù)性、均勻性） （ 2）幾何方程 yuxvyvxuxyyx???????????????（ 59） （ 假定： 小變形、連續(xù)性、均勻性） （ 3）物理方程 )(1 xyy E ???? ??)(1 yxx E ???? ??xyxy E ??? )1(2 ??(515) （平面應(yīng)力） (516) )1(12yxx E ??????????xyxy E ??? )1(2 ??)1(12xyy E ??????????（平面應(yīng)變） （ 假定： 小變形、連續(xù)性、均勻性、線(xiàn)彈性、各向同性） 三、平面問(wèn)題的基本求解方法及基本方程 思路： （ 1）按位移求解 以位移 u、 v為基本未知量，在所有基本方程中消去其余 6個(gè)量，得到以位移表示的基本方程，從中求出 u、 v，再由幾何方程、物理方程求出其余未知量。 基本方程： ???????????????????????????????????????????????????021211021211222222222222YyxuxvyvEXyxvyuxuE??????（ 520） 位移表示的平衡方程 vvuu ss ?? ,???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????YyuxvlxuyvmEXxvyumyvxulEssss21121122??????（ 521） （ 517） 位移表示的應(yīng)力邊界條件 位移邊界條件 （ 2）按應(yīng)力求解 思路： 以應(yīng)力 為基本未知