【正文】 nn n nn n n? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?cos, cos, cos,cos, cos, cos,cos, cos, cos,x x yx zxy xy y zyz xz yz zt x y zt x y zt x y z? ? ?? ? ?? ? ??? ? ??? ? ???? ? ??n n nn n nn n n? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?cos, cos, cos,cos, cos, cos,cos, cos, cos,x x yx zxy xy y zyz xz yz zt x y zt x y zt x y z? ? ?? ? ?? ? ??? ? ??? ? ???? ? ??n n nn n nn n n? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?cos, cos, cos,cos, cos, cos,cos, cos, cos,x x yx zxy xy y zyz xz yzt x y zt x y zt x y z? ? ?? ? ?? ? ??? ? ??? ? ???? ? ??n n nn n nn n n? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?cos, cos, cos,cos, cos, cos,cos, cos, cos,x x yx zxy xy y zyz xz yz zt x y zt x y zt x y z? ? ?? ? ?? ? ??? ? ??? ? ???? ? ??n n nn n nn n n? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?cos, cos, cos,cos, cos, cos,cos, cos, cos,x x yx zxy xy y zyz xz yz zt x y zt x y zt x y z? ? ?? ? ?? ? ??? ? ??? ? ???? ? ??n n nn n nn n n? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?cos, cos, cos,cos, cos, cos,cos, cos, cos,x x yx zxy xy y zyz xz yz zt x y zt x y zt x y z? ? ?? ? ?? ? ??? ? ??? ? ???? ? ??n n nn n nn n n? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?cos, cos, cos,cos, cos, cos,cos, cos, cos,x x yx zxy xy y zyz xz yz zt x y zt x y zt x y z? ? ?? ? ?? ? ??? ? ??? ? ???? ? ??n n nn n nn n n S Depose S into Sx, Sy and Sz, then S2 = Sx2 + Sy2 + Sz2 假設(shè)該斜微分面即為待求的主平面，面上 τ＝ 0，正應(yīng)力 σ＝全應(yīng)力 S。全應(yīng)力 S在 3個(gè)坐標(biāo)軸上的投影為： xyzs sl l s sm ms sn n???? ? ? ???； ；( ) 0( ) 0( ) 0x yx z xxy y z yxz yz zl m nl m nl m n? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?以 l、 m、 n為未知數(shù)的齊次線性方程組，其解就是應(yīng)力主軸的方向。顯然 l＝ m＝ n＝ 0是一組解，但 l2＋ m2＋ n2＝ 1，故應(yīng)求其非 0解。 032213 ???? III ???0))()(( 321 ???? ??????)( ) 0x yx z xxy y z yxz yz z? ? ? ?? ? ? ?? ? ????（321 ????zyzyxzxyxI??????...3?133221222???????????????????????? zxyzxyxzzyyxxxzzxzzzyyzyyyxxyxI???????????????23211 ?????? ?????? zyxIStress invariants (應(yīng)力張量不變量 ) 第一、第二、第三應(yīng)力不變量 x y z ?2??1??3?123000000x xy xzi j yx y yzz x z y z? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ??? ???? ?????? ???? ?????? 1. 可以證明，在應(yīng)力空間，主應(yīng)力平面是存在的； 2. 三個(gè)主平面是相互正交的 ； 3. 三個(gè)主應(yīng)力均為實(shí)根 ， 不可能為虛根； 4. 應(yīng)力特征方程的解是唯一的； 5. 對(duì)于給定的應(yīng)力狀態(tài) ， 應(yīng)力不變量也具有唯一性； 6. 應(yīng)力第一不變量 I1反映變形體體積變形的劇烈程度 ，與塑性變形無關(guān)； I3也與塑性變形無關(guān)； I2與塑性變形有關(guān) 。 7. 應(yīng)力不變量不隨坐標(biāo)而改變 ，是點(diǎn)的確定性的判據(jù)。 用主應(yīng)力表示的各種應(yīng)力狀態(tài)的圖示： Principal shear stresses（ 主剪應(yīng)力） 剪應(yīng)力取極值的平面上的剪應(yīng)力 主剪應(yīng)力；主剪應(yīng)力所在的平面 主剪應(yīng)力平面； 主剪應(yīng)力平面的法線方向 主剪應(yīng)力方向。 σn = Sxl + Sym + Szn = σxl2 + σym2 + σzn2 + 2(τxylm + τyzmn + τzxnl) τn2 = S2 σn2 S n ? n ? n ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?cos, cos, cos,cos, cos, cos,cos, cos, cos,x x yx zxy xy y zyz xz yz zt x y zt x y zt x y z? ? ?? ? ?? ? ??? ? ??? ? ???? ? ??n n nn n nn n n? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?cos, cos, cos,cos, cos, cos,cos, cos, cos,x x yx zxy xy y zyz xz yz zt x y zt x y zt x y z? ? ?? ? ?? ? ??? ? ??? ? ???? ? ??n n nn n nn n n? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?cos, cos, cos,cos, cos, cos,cos, cos, cos,x x yx zxy xy y zyz xz yz zt x y zt x y zt x y z? ? ?? ? ?? ? ??? ? ??? ? ???? ? ??n n nn n nn n n? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?cos, cos, cos,cos, cos, cos,cos, cos, cos,x x yx zxy xy y zyz xz yz zt x y zt x y zt x y z? ? ?? ? ?? ? ??? ? ??? ? ???? ? ??n n nn n nn n n? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?cos, cos, cos,cos, cos, cos,cos, cos, cos,x x yx zxy xy y zz xz yzt x y zt x y zt x y z? ? ?? ? ?? ? ??? ? ??? ? ???? ? ??n n nn n nn n n? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?cos, cos, cos,cos, cos, cos,cos, cos, cos,x x yx zxy xy y zyz xz yz zt x y zt x y zt x y z? ? ?? ? ?? ? ??? ? ??? ? ???? ? ??n n nn n nn n n? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?cos, cos, cos,cos, cos, cos,cos, cos, cos,x x yx zxy xy y zyz xz yz zt x y zt x y zt x y z? ? ?? ? ?? ? ??? ? ??? ? ???? ? ??n n nn n nn n n? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?cos, cos, cos,cos, cos, cos,cos, cos, cos,x x yx zxy xy y zyz xz yz zt x y zt x y zt x y z? ? ?? ? ?? ? ??? ? ??? ? ???? ? ??n n nn n nn n n? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?cos, cos, cos,cos, cos, cos,cos, cos, cos,x x yx zxy xy y zyz xz yz zt x y zt x y zt x y z? ? ?? ? ?? ? ??? ? ??? ? ???? ? ??n n nn n nn n n S l2 + m2 +n2 =1 S ? ? n ?2 ?3 ? 1 現(xiàn)考慮主應(yīng)力空間下主剪應(yīng)力、主剪應(yīng)力平面的求解： τ2 = l 2σ12 + m 2σ22 + n 2σ32 [σ1l 2 + σ2m 2 + σ3n 2 ]2 將 n2 =1 l2 m2 代入上式 ， 取 τ2 對(duì) l 和 m的偏導(dǎo)數(shù)并令其為零 ，可解出對(duì)應(yīng)的 l、 m、 n和極值剪應(yīng)力 。 n =0， l=177。 1/(2) ， m=177。 1/ 82/3 ??82/3 ?? m =0， l=177。 1/(2) ， n=177。 1/ 82/3 ??82/3 ?? l =0， m=177。 1/(2) ， n=177。 1/ 82/3 ?? 82/3 ??三組（ 6個(gè)）主剪應(yīng)力平面分別與一個(gè)主應(yīng)力平面垂直，與另兩個(gè)主應(yīng)力平面呈 45186。 02,2,2},m a x {312312133132232112312312m a x?????????????????????????????最大剪應(yīng)力 (maximun shear stress) 311 2 32If??? ? ? ??? ? ? ?max，例題 求圖示單元體的主應(yīng)力 和最大切應(yīng)力。 解：這是主應(yīng)力單元體， 由定義， ?1= 60 MPa ?2= 30 MPa ?3=－ 50 MPa 30 50 60 （ MPa） 231m a x?? ??τ ? ?60 50 55 MP a2????例題 解： 這是特殊三向應(yīng)力狀態(tài)，已知 一個(gè)主平面和主應(yīng)力，另兩個(gè)主平面 和主應(yīng)力可按平面應(yīng)力狀態(tài)計(jì)算。 14 5 12 10 （ MPa） 2m a x 2m i n 22x y x yxy? ? ? ?? ???? ??? ? ?????x y z ? ?2 2 151 0 1 4 1 0 1 4 5 M P a1122? ? ? ???? ? ? ? ??? ???∴ ?1=15 MPa ?2=12 MPa ?3=－ 11 MPa 231m a x?? ??τ求圖示單元體的主應(yīng)力 和最大切應(yīng)力。 例題 解：已知一個(gè)主應(yīng)力 40MPa,另兩個(gè)主應(yīng)力可按純剪切應(yīng)力狀態(tài)結(jié)論直接寫出。 ?1=40 MPa, ?2=30 MPa, ?3=－ 30 MPa 30 40 (MPa) 231m a x?? ??τ? ?40 30 35 MP a2????x y z 求圖示單元體的主應(yīng)力 和最大切應(yīng)力。 Deposition of stress tensor （應(yīng)力張量分解） )(31zyxm ???? ???,39。 mxx ??? ??myy ??? ??39。mzz ??? ??39。Deviatoric stress ponents（偏應(yīng)力分量） ??????????zzyzxyzyyxxzxyx?????????? ???mijijij ???? ?