【正文】 做表分析即可。 【思考：憑什么令 ？】.271?x或 0)(?xf 當(dāng) 變化時(shí)， 的變化情況如下表：)(,xf? 所以，當(dāng) 時(shí)， 是減函數(shù)；當(dāng) 時(shí)， 是增函數(shù).)21,0(?x)(xf )1,2(?x)(xf當(dāng) 時(shí)， 的值域?yàn)閇－4，－3].][f第二問很多人看題目就暈菜了，其實(shí)這道題即使你不會(huì)分析，大膽的往下做，就能把題目做對(duì)，我們思考下，題目給的條件和我們要求的差距點(diǎn)是什么？這道題的差距點(diǎn)雖然較大，但是用這種求差值的思想是能一步步走下去的，題目給的是 g(x),x1 和 x0,并且給了范圍，要我們求解 a 的范圍，要想求 a 的值，就必須列出 a 的表達(dá)式，a 的表達(dá)式想要列出，就必須從 g（x）入手，題目給的信息除了區(qū)間就沒有其他能利用的條件了。既然題目給的是區(qū)間，因此我們不妨對(duì)函數(shù) 求導(dǎo)，得 【思考：)( ).(3)2xg???憑什么進(jìn)行求導(dǎo)？目的是什么？】到了這一步，由于題目告訴我們 ，所以當(dāng) 時(shí)，1?a1,0?.0)1(3)2????axg因此當(dāng) 時(shí)， 為減函數(shù)，從而當(dāng) 時(shí)有 這個(gè)就是我們所要的,?)(xg]1,0[?x)].(,[)(gx缺失條件。到這里可能同學(xué)們清楚了為什么要進(jìn)行求導(dǎo)，因?yàn)轭}目給了我們?nèi)≈祬^(qū)間，要想求出 a 值，只要判斷這個(gè)函數(shù)的增減性就行了，這就是條件差異彌補(bǔ)的推導(dǎo)思想。由于知道函數(shù)的增減性，就容易了，馬上可列出 a 的表達(dá)式： 又 即當(dāng) 時(shí)有 有人說這個(gè)不是表,2)0(,321)( agg????]1,0[x ].2,31[)(axg?達(dá)式，還是個(gè)未知數(shù)，沒關(guān)系，我們?cè)儆猛瑯拥乃枷肴プ?，發(fā)現(xiàn)現(xiàn)在能利用的條件也異常清楚了（因?yàn)榫瓦@個(gè)沒用上了）：15 任給 ， ，存在 使得 ，則]1,0[?x]3,4[)(1?xf ]1,0[?x)(10xfg? 即 解得 ； [,123??a242????????a 35???a或 .2又 ，故 a 的取值范圍為?.31?評(píng)析：這道題式子復(fù)雜，05 年高考時(shí)候正確率非常之低，但是其中的解題過程并不復(fù)雜，思維方向也十分明確，只是考題將多個(gè)概念進(jìn)行轉(zhuǎn)換，條件隱蔽的相對(duì)較深。數(shù)學(xué)題的核心就是知識(shí)點(diǎn)與邏輯能力的結(jié)合，但是總的思想是異常相似的，幾乎全部的解答題都可以用一個(gè)思維來做，就是“條件差異彌補(bǔ)法”和“必要性思維” 。所謂的“必要性思維”指的是要想獲取某個(gè)結(jié)果，必須獲得的前提是什么，多屬于逆推，兩者的道理是一樣的。這里我們總結(jié)出這道題的思維步驟和解題步驟：全部的思維步驟： 嚴(yán)格按照題目的要求，判斷要我們干什么 找出題目給的條件和我們要求的差距點(diǎn)是什么 利用“找后補(bǔ)”或“找前提”的方式彌補(bǔ)出這個(gè)差距 最終聯(lián)系條件得出這個(gè)結(jié)論 固定的解題步驟： 直接根據(jù)課本定義得出結(jié)論（某類題注意取值分析） 用求同存異的思想進(jìn)行條件轉(zhuǎn)換 函數(shù)用式子變形推出結(jié)果（引申：若是證明，數(shù)列用數(shù)學(xué)歸納法）我們來看下道題，是否能夠套用以上結(jié)論：（全國卷）設(shè)數(shù)列 的前 項(xiàng)的和??na，14233nS????,?A（Ⅰ）求首項(xiàng) 與通項(xiàng) ；1n（Ⅱ）設(shè) ， ，證明：2nTS,A132niT???解析：題目直接要求我們求首項(xiàng)和通項(xiàng)，由于我們知道通項(xiàng)和 Sn 公式，就能直接根據(jù)定義來做。解: (Ⅰ)由 Sn= an－ 2n+1+ , n=1,2,3，… , ① 得 a1=S1= a1－ 4+ 所以 a1=2.43 13 23 43 13 23再由①有 Sn－1 = an－1 － 2n+ , n=2,3，4,… ②43 13 23將①和②相減得: an=Sn－S n－1 = (an－a n－1 )－ (2n+1－2 n),n=2,3, …做到這一步相信大家都會(huì)，那么我們要43 13求 an 公式，通過這個(gè)式子，我們發(fā)現(xiàn)差距點(diǎn)在 an－a n－1 ，同時(shí)可以 2n+1－2 n 也是相差一次，因此直接提出后，可以得出： an+2n=4(an－1 +2n－1 ),n=2,3, … , 這個(gè)就是我們所彌補(bǔ)的缺失點(diǎn)。 因而數(shù)列{ an+2n}是首項(xiàng)為 a1+2=4,公比為 4 的等比數(shù)列,即 : an+2n=44n－1 = 4n, n=1,2,3, …, 因而 an=4n－2 n, n=1,2,3, …, 做到這里，我們要問自己憑什么這么轉(zhuǎn)化，我們所求的 an 和得到的結(jié)果(a n 與 an－1 )存在差異點(diǎn)，要想把這個(gè)差異點(diǎn)彌補(bǔ)，就把他們之間的關(guān)系列出，就能得出結(jié)論。第二問是數(shù)學(xué)證明，首先可以考慮數(shù)學(xué)歸納法證明，但是這題題設(shè)與我們得到的結(jié)論差距較少，直接求解較快，如果為求穩(wěn)妥，建議用數(shù)學(xué)歸納法?？纯粗苯忧蠼獾乃悸罚?6題目讓干嘛就干嘛，別多想，直接用定義。題目給的是 這個(gè)式子，那么必須求出 Sn。2nTS?(Ⅱ)將 an=4n－2 n 代入①得 Sn= (4n－2 n)－ 2n+1 + = (2n+1－1)(2 n+1－2) 【請(qǐng)思考】43 13 23 13 = (2n+1－ 1)(2n－1) ，然后求出 Tn 和 （問題與題目的差距點(diǎn)，并想辦法補(bǔ)上）23 1iT?? Tn= = = ( － )2nSn 32 2n(2n+1－ 1)(2n－ 1) 32 12n－ 1 12n+1－ 1所以, = － ) = ( － ) 1i??32 1i?12i－ 1 12i+1－ 1 32 121－ 1 12i+1－ 1 32評(píng)析：這題本身難度不高，但是第一步的難度較大，但是用上必要性思維和求差距思想，要想獲得an 通項(xiàng)，必須結(jié)合起來解答，全部的難點(diǎn)僅此而已?？傮w而言，全部的解題思維是驚人的趨于一致的。不信？看下道題：（全國卷）已知數(shù)列 中 ， ， ．??na12?1()2nnaa???13?， ， ， …（Ⅰ）求 的通項(xiàng)公式；n（Ⅱ）若數(shù)列 中 ， ， ，nb12134nb?123?， ， ， …證明： ， ．432na??≤ ?， ， ， …（07 全國卷）解析：發(fā)現(xiàn)這題的做法思路完全和 06 年的一致，顯然不能一步到位，還是先求出 an與某個(gè)數(shù)的關(guān)系式，題目告訴我們 ，說明差距體現(xiàn)在 上，用這個(gè)式子來決1(2)nnaa???21?定我做題的方向：解（Ⅰ）由題設(shè)： 1(2)nna???()2)()n??， ．(2))??11a??所以，數(shù)列 是首項(xiàng)為 ，公比為 的等比數(shù)列，??n，即 的通項(xiàng)公式為 ， ．(1)nnaa2()1nn??????23?， ， ， …這道題難在第一步不知道如何去想，題目告訴我們的條件似乎比較棘手，但是用這種“追求差異”并想法彌補(bǔ)的思維定式去做，很容易就將題目解答出來了。對(duì)于高考，方法越簡(jiǎn)單越實(shí)用越好，尤其是第二步給出了個(gè)看似復(fù)雜的式子，我們沒有必要花費(fèi)過多的精力推導(dǎo)，直接用數(shù)學(xué)歸納法即可（過程略） 。評(píng)析：整體難度其實(shí)不大，但是看起來比較有難度。我們只要沿用這種求同存異的“補(bǔ)差”思想，還是非常容易做的，甚至連計(jì)算都不難?？吹竭@里，大家應(yīng)該能用這種思維去做其他題了吧，我們?nèi)粘Ｓ鲆姷念}型雖然各有差異，其實(shí)總的做題思維真的沒有太多差距，并且在解題步驟上也十分類同。大家不妨用這種思維去看看 08 的最后一題。17（全國卷）設(shè)函數(shù) ．?dāng)?shù)列 滿足 ， ．()lnfxx????na10?1()nnaf??（Ⅰ）證明：函數(shù) 在區(qū)間 是增函數(shù)；(01)，（Ⅱ）證明： ；1na??（Ⅲ）設(shè) ，整數(shù) ．證明： ．1()b?， 1lnabk?≥ 1kab??簡(jiǎn)要解析：看看 08 高考題型結(jié)合函數(shù)了，依舊用同一個(gè)思想，第一步，依舊是題目讓干嘛就干嘛，求函數(shù)增減性，直接用定義，要證明，數(shù)學(xué)歸納法。解：第一步（略） ，第二步證明，發(fā)現(xiàn)第一步函數(shù)的增減性可以直接利用，直接用數(shù)學(xué)歸納法。第三步較為復(fù)雜，沒關(guān)系，這題表面是數(shù)列，其實(shí)考察的是不等式，無論是哪類題型，其根本點(diǎn)還是從條件中尋求差異，要我們證明 ，給的條件是設(shè) ，整數(shù) ，依舊是以“必要性1kab??1()ba?， 1lnabk?≥思維”來思考，要想獲得 這個(gè)結(jié)論，必須列出他們的表達(dá)，要想列出他們的表達(dá)，必須利用有這1k兩個(gè)字母的條件，我們發(fā)現(xiàn)題目有 和 ，然后就能輕松的得出結(jié)論：由()lnfxx??1()naf??． ， kkkbal1? 到了這里，幾乎全()lnfxx??1naf??11lnkiiaba???部出來了。1， 若存在某 滿足 ，則由第二步可知：ik≤ ib≤ 1ki??≥ 02， 若對(duì)任意 都有 ai?，則 kk abaln1???≤ bl11?11lnkiiab???11lnkib??11()lki?l1?)(1a?0，即 ? 解析：這道題出的十分經(jīng)典，即考察定義，又綜合了多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，同時(shí)式子看起來比較能夠“嚇唬”人，思維跳躍過程很大，但是計(jì)算本身并不復(fù)雜，這題失分率非常之高，第一步的過程就把很多學(xué)生難倒，這是不應(yīng)該的，其實(shí)無論多難的數(shù)學(xué)題，解題的根本方法是從題目本身入手，題目讓干嘛就干嘛，要我們做什么就自然而然的做，而不是看到題就聯(lián)系知識(shí)點(diǎn)套用，那樣只能做簡(jiǎn)單的題，對(duì)付這類靈活多變的綜合題，我們要在做題過程中形成這種相對(duì)固定的解題思路，達(dá)到用一招就能化解多題，做一題，會(huì)百題的效果?？v觀近年數(shù)學(xué)考題，幾乎都可以用這種思維拿下，當(dāng)然這是站在數(shù)學(xué)的理解基礎(chǔ)上，核心原則是以題做題，挖掘各類題型思維的共性，這樣才能在數(shù)學(xué)考試上戰(zhàn)無不勝，攻無不克。09 試題的題型雖然比較獨(dú)特，但是看看能否用這種思維來作出這道題呢？我們看看：設(shè)函數(shù)在兩個(gè)極值點(diǎn) ，且??32fxbcx??12x、 11[0],[,2].x??，18（I）求 滿足的約束條件，并在下面的坐標(biāo)平面內(nèi)，畫bc、出滿足這些條件的點(diǎn) 的區(qū)域；??,(II)證明： 2110fx???解析：不管這道題的問法是什么，拿到題后還是先關(guān)注題目讓我們干什么。題目意圖是讓我們畫出關(guān)于 f（x）成立 bc 的條件范圍，我們什么都不要想，直接順著題意來：由題意知方程 有兩個(gè)根??236fxbxc?????0f??12x、則有 故有1[0],??且 ， 2[1,].1f???， ?， ??0ff???， 這個(gè)不等式組全部轉(zhuǎn)化為 c 的表達(dá)式，出來后就能通過坐標(biāo)系畫圖，它們圍起來的區(qū)域就是所得的區(qū)域。之所以要求導(dǎo)，是因?yàn)閷?dǎo)數(shù)=0 時(shí)是極值點(diǎn)，這個(gè)就是直接根據(jù)定義得來的，符合我們說的通解思維。 （具體圖不畫了）第(II)問很多考生就不會(huì)做了，因?yàn)橛幸欢ǖ膮^(qū)分度，更主要原因是含字母較多，不易找到突破口。來看我們的思想原則：首先找出題目給的條件和我們要求的差距點(diǎn)是什么，然后利用“找后補(bǔ)”或“找前提”的方式彌補(bǔ)出這個(gè)差距，題目讓我們干嘛就干嘛。本題讓我們證明，既然是要求 x2，我們不妨想辦法列出 f（x 2）的表達(dá)，從題目給的極值和 x2 的取??2110fx???值范圍，我們不妨根據(jù)定義對(duì) 求導(dǎo)，得出 ，??32fbxc????2360fxbc????有了這個(gè)式子，我們看看還有什么條件沒用上？轉(zhuǎn)化一步，寫成 ，那么直接消去 bbx122?得， 為什么要消去 b 呢？因?yàn)橛傻谝徊酱蠹耶嫷膮^(qū)域可以知道 b，c 的取值范??32221cfxx???圍，我們只有將 轉(zhuǎn)為 b 或 c 的表達(dá)式，才能得出結(jié)果，這是由題目條件的差異來決定的，當(dāng)考f生拿到題的時(shí)候，第一時(shí)間要朝著“能利用”的方向轉(zhuǎn)化，要想證明 這個(gè)式子，必須列出表達(dá)??2xf式，表達(dá)式列出后，存在兩個(gè)字母，要想能夠得出結(jié)論，當(dāng)然要消去一個(gè)字母，這就是通解中求差異的必要性思維。其實(shí)無論消去 b 或者消去 c，都能根據(jù)第一步的結(jié)論得出證明結(jié)果，只是消去 b 省事一些而已。又 ，且 ，所以有 ，又有 2[1,]x??[2,0]c???cxf231342????? 0??c0()f???最后管衛(wèi)東總結(jié)一下，以后碰上數(shù)學(xué)大題，千萬不要慌亂，直接照著題目意思來，堅(jiān)信自己能夠做下去并且做對(duì)。因?yàn)楦呖己茈y遇到熟悉的題型，所以大家在訓(xùn)練的時(shí)候一定把握住上面說的特點(diǎn)：題目讓干嘛就干嘛；找出問題和條件的差距點(diǎn)；但凡卡住的時(shí)候找“前提”或“后補(bǔ)” 。這里只是借用數(shù)學(xué)高考試題，題型可以說幾乎都不一樣，但總體的思路卻有其相似之處?？v觀題19海，其實(shí)理科大多數(shù)學(xué)科都能夠總結(jié)出這類通解方法。當(dāng)然，作為一個(gè)考生，我們沒有必要去花費(fèi)太多時(shí)間和精力去刻意整理，但是這種道理應(yīng)當(dāng)要有所意識(shí)。希望大家在復(fù)習(xí)過程尤其是做題，最好多花一點(diǎn)時(shí)間多看題，多總結(jié)，多思考；少盲目做題，少抓瞎訓(xùn)練。這樣才能夠提高效率，在考試中任何大題都成為自己奪分的籌碼。