矩陣指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)與計算-資料下載頁
2025-08-05 10:29本頁面
【正文】 ，此方法可以作為首選，但這個方法法也有自己的缺點，即Laplace反變換本身計算并不簡單。295 矩陣指數(shù)函數(shù)在微分方程中的應(yīng)用的應(yīng)用微分方程存在解．如果考慮下面的向量：能夠把線性微分方程表示成：兩邊乘以一個積分因子, 便得到：我們可以計算，從而得到微分方程的解．如果為，齊次的微分方程組，即，易知, .例１(齊次)我們有以下的微分方程組：相關(guān)矩陣為：我們通過計算可得：因此微分方程組的通解為：對于非齊次的情況下，方程組的通為齊次方程的通解與非齊次方程的特解的和．我們可以找到形為的一個特解：為讓為方程的解，必須有:因此：例2（非齊次）我們有以下方程組：有，以及。用上面所用的方法我們可求出：，其中。所以進一步計算就可以得到特解所以微分方程組的通解為：，其中是齊次方程組的通解．6 總結(jié)生活中有很多問題可以用線性微分方程組解決，其在現(xiàn)代系統(tǒng)與控制及其工程技術(shù)等等眾多領(lǐng)域具有重要的應(yīng)用。矩陣指數(shù)函數(shù)是一種特殊的矩陣函數(shù)，同時他也是解決線性微分方程組重要部分。本論文并沒有從一開始直接介紹矩陣指數(shù)函數(shù)，而是從與矩陣有著密切相關(guān)的齊次線性微分方程組入手，介紹了齊次線性微分方程組的相關(guān)信息，并對齊次線性微分方程組的基解矩陣進行求解，從這里了解到，從而對有了初步認識。實際上，雖然在齊次線性微分方程組方面引出了，但是這里并不能直接把基解矩陣和劃等號，還需要相關(guān)性質(zhì)的證明，之后本文又從簡單的介紹了矩陣函數(shù)的性質(zhì)，從另一方面再次引出，并在矩陣函數(shù)的基礎(chǔ)上對矩陣函數(shù)的性質(zhì)進行研究，一共提出了7條性質(zhì)，并對其逐一進行證明，實際上，一般的文獻中只提到了只有6條基本性質(zhì)，第七點為矩陣指數(shù)函數(shù)的衍生性質(zhì)，本文通過研究，最終給出了證明。在的計算方面，本論文參考了一些論文中的一些關(guān)于計算方面的解法，加以總結(jié)并修改后，首先給出了Hamilton‐Cayley求解法，微分方程系數(shù)求解法，Jordon塊三種求解法（以上解法都是自主命名），然后分別使用這三種方法進行介紹，并用例題進行解釋，之后指出這三種方法的缺點，第一種和第二種方法的計算都用到了微分方程方面的相關(guān)知識，這兩種方法中都運用了到一個 階的線性微分方程，通過對這個方程的求解來計算, 同第三種方法相比降低了計算量，計算步驟也比較簡單，不過要理解為什么這么做，要清楚理解里面運用的一些定理和方法．但是實際上，由于以上3種方法均需要求矩陣的特征值，如果遇到高階矩陣或者特征值為復(fù)數(shù)，這三種方法的計算復(fù)雜度都會變高。之后，本文又提到了兩種特殊方法，矩陣指數(shù)函數(shù)展開法簡單粗暴，如果A是正交矩陣，用矩陣指數(shù)函數(shù)展開法可以簡化計算，這種方法避免了對矩陣特征值的計算，遇到高階矩陣或者特征值為復(fù)數(shù)計算量也不會變高，缺點是只能用于正交矩陣。Laplace反變換法利用Laplace反變換，完全避免了特征值的計算以及矩陣的變換，充分發(fā)揮了Laplace反變換的便捷，計算過程簡介明了，可以說，在計算方法的選擇上，這個方法法可以作為首選，但方法也有自己的缺點，即Laplace反變換本身計算并不簡單。文章的末尾，本文回到了微分方程組，使用例題來對指數(shù)函數(shù)在微分方程中的應(yīng)用進行了介紹，分別解決了齊次與非齊次兩個問題。從而進一步的詮釋了矩陣指數(shù)函數(shù)計算在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用。3參考文獻[1]F. AluffiPentini, V. Parisi, A novel algorithm for the numerical integration of systems of ordinary differential equations arising in chemical problems, [J]Math. Chem. 33 (2003) 1–15.[2] Lancas ter P, T ism enest aky M . Th e T heory of Mat rices w ith Applicat ions [M] . T he second Edit ion Academic Press , 1985.[3]Wermuth E M E．Two remark on matrix exponentinls[M]．Linenr algebra App1．1989，17： 127~132.[4]C. Moler and C. Van Loan, Nineteen dubious ways to pute the exponential of a matrix[M],SIAM Review, 20(1978), 801836.[5]史榮昌，[M]，北京理工大學(xué)出版社，2010.[6]王高雄，周之銘，朱思銘，等．常微分方程：第２版[M].北京：高等教育出版社，１９８３.[7] 變換在矩陣指數(shù)函數(shù)中的應(yīng)用[J].荊楚理工學(xué)院學(xué)報，2011,26 (7):4345.[8]張偉紅，檀結(jié)慶，的Thiele 型矩陣有理逼近[J].合肥工業(yè)大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué) 版),2006, 29(10): 147149.[9]張俊祖, 姜根明, 馮復(fù)科. 矩陣指數(shù)函數(shù)的一種計算[J].長安大學(xué)學(xué)報, 2006, 26(1): 108110。[10]北京大學(xué)幾何與代數(shù)教研室代數(shù)小組. 高等代數(shù)[M] . 北京: 高等教育出版社, 1988: 350 352.[11]鄭星中, 任芳國. 矩陣指數(shù)函數(shù)的性質(zhì) [J].紡織高校基礎(chǔ)科學(xué)學(xué)報, 2011, 24(1) : 119121.[12]白素英. 四種計算方法的比較[J]. 數(shù)學(xué)的實踐與認識,2008 38(2):157158.[13]黃承緒. 矩陣指數(shù)函數(shù)的一些性質(zhì)[J]. 武漢理工大學(xué)學(xué)報, 2001, 25(2): 147149.[14]羅家洪，[M].廣州：華南理工大學(xué)出版社，2006,103120.[15]王高雄，周之銘，朱思銘，[M].高等教育出版社，2006,150244.4致謝行文至此，我的這篇論文也像大學(xué)生活一樣已接近尾聲；歲月如梭，四年前自己剛踏入校園，對大學(xué)生活充滿了好奇與期望，轉(zhuǎn)眼間，已要離去。站在人生的又一個轉(zhuǎn)折點上，心中難免思緒萬千，有興奮，有不舍，有迷茫有期待，此時一種感恩之情油然而生。生我者父母。感謝生我養(yǎng)我，含辛茹苦的父母。是你們，為我的學(xué)習(xí)創(chuàng)造了條件；是你們，一如既往的站在我的身后默默的支持著我。沒有你們就不會有我的今天。謝謝你們，我的父親母親！在這四年中，老師的諄諄教導(dǎo)、同學(xué)的互幫互助使我在專業(yè)技術(shù)和為人處事方面都得到了很大的提高。感謝天津科技大學(xué)在我四年的大學(xué)生活當中對我的教育與培養(yǎng)，感謝天津科技大學(xué)理學(xué)院的所有老師，沒有你們的辛勤勞動，就沒有我們今日的滿載而歸，感謝大學(xué)四年曾經(jīng)幫助過我的所有同學(xué)。同時，在我論文寫作過程中，喬嵐老師對我進行了耐心的指導(dǎo)和幫助。喬嵐老師是一名優(yōu)秀的、經(jīng)驗豐富的教師，她對我嚴格要求，引導(dǎo)我不斷開闊思路，為我答疑解惑，鼓勵我大膽創(chuàng)新，在論文工作中，我總是遇到了許許多多這樣那樣的問題，喬嵐老師總能耐心的對我講解、答疑， 值此論文完成之際，謹向喬嵐老師致以最崇高的謝意!最后，衷心地感謝在百忙之中評閱論文和參加答辯的各位老師！
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