極限的概念和運(yùn)算法則-資料下載頁
2025-08-05 08:06本頁面
【正文】 n?? 時 都 是 無 窮 小 ,2 2 2 21 2 ( 1 )l im l im2nnn n nn n n n? ? ? ????? ? ? ?????無窮多個無窮小的代數(shù)和未必是無窮小 . 例如 1 1 1l im .2 2 2n n????? ? ?????性質(zhì) 2 有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小 . 例 16 2s inlim .xxx??求,x ??當(dāng) 時 分 子 及 分 母 的 極 限 都 不 存 在 ,2 2 2s i n 1 1s i n , , 0 s i n ,x x x xx x x? ? ? ?當(dāng) 時 的 極 限 為 , 是 有 界 函 數(shù)2s inl im 0 .xxx????解 不 能 直 接 應(yīng) 用 極 限 運(yùn) 算 法 則 .2．無窮大量 定義 0 ( ) , ( ) ,x x x f x? ? ?如 果 當(dāng) 或 時 函 數(shù) 的 絕 對 值 無 限 增 大0( ) ( ) .f x x x x? ? ?則 函 數(shù) 叫 作 當(dāng) 或 的 無 窮 大 量時011( ) 0 , l i m .xf x xxx ?? ? ? ?是 當(dāng) 時 的 無 窮 大 記 作例如 ( ) , l i m .xx xf x e x e? ? ?? ? ? ? ? ? ?是 當(dāng) 時 的 無 窮 大 記 作特殊情形：正無窮大 ,負(fù)無窮大． 00( ) ( )l i m ( ) l i m ( ) .x x x xxxf x f x??? ? ? ?? ? ? ? ? ?，注意 (1) 函數(shù)是無窮大 ,必須指明自變量的變化趨向 . (2) 無窮大是變量 ,不能與很大的數(shù)混淆 . 定理 , ( ) ,fx在 自 變 量 的 同 一 變 化 過 程 中 如 果 是 無 窮 大 則11 。 , ( ) , ( ) 0 , .( ) ( )f x f xf x f x?是 無 窮 小 反 之 如 果 是 無 窮 小 且 則 是 無 窮 大3．無窮小與無窮大的關(guān)系 4 無窮小的比較 3, 2 ,x x x 都是無窮小 ,但是趨于 0的速度似乎是不同的 , 0,x ? 時需要對兩個無窮小趨于 0的速度做出比較的方法 定義 ??設(shè) 和 都 是 在 同 一 自 變 量 的 變 化 過 程 中 的 無 窮 小 ，( 1 ) l im 0 , , ( ) 。? ? ? ? ? ?? ??若 則 高 階 的 無 窮 小稱 是 比 記 作( 2) l im , 。? ??? ??若 則 低 階 的是 比 無 窮 小稱( 3 ) l im 0 , 。C? ??? ??若 則 稱 與 同 階 的 無 窮 小是( 4) l im 1 , , ~ .? ? ? ? ?? ?若 則 稱 與 窮 小 記 作等 價(jià) 無是例 17 比較下列無窮小的階數(shù)的高低 : 313( 1 ) , .xxx?? 時 無 窮 小 與2( 2 ) 2 , 2 4 .x x x? ? ?時 無 窮 小 與32111( 1 ) l im l im 0 ,3 3xxxxx? ? ? ???解 2211( 3 ) , .x 3 x 2x xx?? ??時 無 窮 小 與+331 3 1 3 , , .xx x x x???? ? ? ? ????當(dāng) 時 是 比 高 階 的 無 窮 小 即22 2 24 ( 2 ) ( 2 )( 2) l im l im l im ( 2 ) 4,22x x xx x x xxx? ? ?? ? ?? ? ? ???2 2 , 2 4 .x x x? ? ? ?當(dāng) 時 與 是 同 階 的 無 窮 小2222132( 3 ) l im l im = 1 ,132xxx x xxxxx x ? ? ? ????++2211 ,32x x x x x ? ? ? ?當(dāng) 時 與 是 等 價(jià) 無 窮 小 ,+2211 ( ) .32 xx x x x ? ? ??即 +作業(yè) 習(xí)題 4 (2) 5 、 6 (2) 、 (4) 補(bǔ)充題
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