【正文】 252345(1,11)(3,5,25)(5,7,9,25)(11,15,17,19,21)272345(1,11)(1,9,15)(1,11,15,25)(5,13,17,19,27)292345(1,19)(1,17,19)(1,17,19,23)(13,17,19,23,2)312345(1,9)(1,9,19)(3,13,21,27)(5,9,11,17,19)表的偏差，“0”為奇數(shù)n的表的偏差。由四個(gè)圖中也明顯看到表有更好的均勻性。 ii) 若n固定，當(dāng)s增大時(shí)，表(或表)的偏差也隨之增大。若s固定，表的偏差隨n的增大而減小。而表的偏差一般也隨n的增大而減少，但有少數(shù)例外，其原因是它們的表的可能列數(shù)E(n+1)不太多，由其中選擇s的可能組合也不多，從而最小偏差相對(duì)偏大。 iii）表18列舉的 和 是由生成元方法生成的，其生成向量具有()的結(jié)構(gòu)，而表19的是考慮從表中選出s列的一切可能的組合，所以生成向量中不一定包含1，當(dāng)然也不具有()的結(jié)構(gòu)。 為了使用者的方便，我已將表18和表19的結(jié)果用(或)表及其使用表形式列于本書附錄I。所以，讀者可以對(duì)照附錄I的諸表和表18，19來加強(qiáng)對(duì)均勻設(shè)計(jì)表構(gòu)造的理解。由于在大部分情形下，因素?cái)?shù)≤7，故附錄公僅給出s≤7的使用表，并且刪去(或)表中沒有用到的列。值得指出的是，均勻性度量的方法很多，最初王元，方開泰[3]提出了近似偏差(discrepancy)的均勻性準(zhǔn)則，利用這個(gè)準(zhǔn)則，他們給出了n≤31的使用表。丁元[5]利用最優(yōu)試驗(yàn)設(shè)計(jì)理論中的A最優(yōu)和D最優(yōu)準(zhǔn)則，給出了相應(yīng)的使用表，類似于丁元的思想，張學(xué)中[23]用設(shè)計(jì)矩陣的條件數(shù)作為均勻性指標(biāo)，并且對(duì)n≤31及n=53用多種準(zhǔn)則給出了使用表，蔣聲和陳瑞琛[6,7]從幾何的觀點(diǎn)提出了體積距離的度量。方開泰和鄭胡靈[12]也是從幾何的角度建議用最大對(duì)稱差的條件來度量均勻性，并提出均勻性度量必須要滿足的條件，方開泰和張金廷[11]總結(jié)是納了各種均勻性準(zhǔn)則，系統(tǒng)地討論了它們的關(guān)系和比較它們的優(yōu)劣，最終推薦了由設(shè)計(jì)矩陣所誘導(dǎo)矩陣的特征的方差作為均勻性標(biāo)準(zhǔn)，并且也給出了n≤31的使用表。 混合水平的均勻設(shè)計(jì)表 由于實(shí)際情況千變?nèi)f化，在應(yīng)用均勻設(shè)計(jì)時(shí)會(huì)面臨許多新情況，需要靈活加以應(yīng)用。本文所列舉的文獻(xiàn)中，不少作者有許多巧妙的應(yīng)用和建議，很值得參考。如王鵬等[21]在文中建議：a）均勻設(shè)計(jì)與調(diào)優(yōu)方法共用；b）分組試驗(yàn)；c）擬水平法。本節(jié)僅介紹擬水平法在均勻設(shè)計(jì)法中的應(yīng)用。若在一個(gè)試驗(yàn)中，有二個(gè)因素A和B為三水平，一個(gè)因素C為二水平。分別記它們的水平為。這個(gè)試驗(yàn)可以用正交表來安排，這等價(jià)于全面試驗(yàn)，并且不可能找到比更小的正交表來安排這個(gè)試驗(yàn)。是否可以用均勻設(shè)計(jì)來安排這個(gè)試驗(yàn)?zāi)兀恐苯舆\(yùn)用是有困難的，這就要運(yùn)用擬水平的技術(shù)。若我們選用均勻設(shè)計(jì)表，按使用表的推薦用1,2,3前3列。若將A和B放在前兩列，C放在第3列，并將前兩列的水平合并：{1,2}1,{3,4}2,{5,6}3。同時(shí)將第3列水平合并為二水平：{1,2,3}1,{4,5,6}2,于是得設(shè)計(jì)表（表20）。這是一個(gè)混合水平的設(shè)計(jì)表。這個(gè)表有很好的均衡性，例如，A列和C列，B列和C列的表20 擬水平設(shè)計(jì)NoABC1(1)1(2)1(3)12(2)1(4)2(6)23(3)2(6)3(2)14(4)2(1)1(5)25(5)3(3)2(1)16(6)3(5)3(3)2二因素設(shè)計(jì)正好組成它們的全面試驗(yàn)方案，A列和B列的二因素設(shè)計(jì)中沒有重復(fù)試驗(yàn)?？上У氖遣⒉皇敲恳淮巫鲾M水平設(shè)計(jì)都能這么好。例如我們要安排一個(gè)二因素（A，B）五水平和一因素（C）二水平的試驗(yàn)。這項(xiàng)試驗(yàn)若用正交設(shè)計(jì)，可用表，但試驗(yàn)次數(shù)太多。若用均勻設(shè)計(jì)來安排，可用。由使用表指示選用1，5，7三列。對(duì)1，5列采用水平合并{1,2}1,…,{9,10}5。對(duì)7列采用水平合并{1,2,3,4,5}1,{6,7,8,9,10}2,于是得表21的方案。這個(gè)方案中A和C的兩列，有二個(gè)（2，2），但沒有（2，1），有二個(gè)（4，1），但沒有（4，2），因此均衡性不好。表21 擬水平設(shè)計(jì)NoABC1(1)1(5)3(7)22(2)1(10)5(3)13(3)2(4)2(10)24(4)2(9)5(6)25(5)3(3)2(2)16(6)3(8)4(9)27(7)4(2)1(5)18(8)4(7)4(1)19(9)5(1)1(8)210(10)5(6)3(4)1表22 擬水平設(shè)計(jì)NoABC1(1)1(2)1(5)12(2)1(4)2(10)23(3)2(6)3(4)14(4)2(8)4(9)25(5)3(10)5(3)16(6)3(1)1(8)27(7)4(3)2(2)18(8)4(5)3(7)29(9)5(7)4(1)110(10)5(9)5(6)2若選用的1，2，5三列，用同樣的擬水平技術(shù)，便可獲得表22列舉的表，它有較好的均衡性。由于表有10列，我們希望從中選擇三列，由該三列生成的混和水平表既有好的均衡性，又使偏差盡可能地小，經(jīng)過計(jì)算發(fā)現(xiàn)，表22給出的表具有偏差D=，達(dá)到了最小。本書附錄II給出了一批用擬水平技術(shù)而生成的混合水平的均勻設(shè)計(jì)表，由于篇幅所限，我們的表難免掛一漏萬(wàn)，讀者若有需要，可直接和我們聯(lián)絡(luò)，我們樂意協(xié)助你們計(jì)算所需的混合水平表。 均勻設(shè)計(jì)和正交設(shè)計(jì)的比較 正交設(shè)計(jì)和均勻設(shè)計(jì)是目前最流行的兩種試驗(yàn)設(shè)計(jì)的方法，它們各有所長(zhǎng)，相互補(bǔ)充，給使用者提供了更多的選擇。本節(jié)將討論兩種試驗(yàn)設(shè)計(jì)的特點(diǎn)。 首先正交設(shè)計(jì)具有正交性，如果試驗(yàn)按它設(shè)計(jì)，可以估計(jì)出因素的主效應(yīng)，有時(shí)也能估出它們的交互效應(yīng)。均勻設(shè)計(jì)是非正交設(shè)計(jì)，它不可能估計(jì)出方差分析模型中的主效應(yīng)和交互效應(yīng)，但是它可以估出回歸模型中因素的主效應(yīng)和交互效應(yīng)（）。 正交設(shè)計(jì)用于水平數(shù)不高的試驗(yàn)，因?yàn)樗脑囼?yàn)數(shù)至少為水平數(shù)的平方。我們?cè)龅揭豁?xiàng)試驗(yàn)，有五個(gè)因素，每個(gè)因素取31水平，其全部組合有個(gè)，若用正交設(shè)計(jì)，至少需要做次試驗(yàn)，而用均勻設(shè)計(jì)只需31次，所以均勻設(shè)計(jì)適合于多因素多水平試驗(yàn)。 均勻設(shè)計(jì)提供的均勻設(shè)計(jì)表在選用時(shí)有較多的靈活性。例如，一項(xiàng)試驗(yàn)若每個(gè)因素取4個(gè)水平，用來安排，只需作16次試驗(yàn)，若改為5水平，則需用表，作25次試驗(yàn)。從16次到25次對(duì)工業(yè)試驗(yàn)來講工作量有顯著地不同。又如在一項(xiàng)試驗(yàn)中，原計(jì)劃用均勻設(shè)計(jì)來安排五個(gè)因素，每個(gè)有13個(gè)水平。后來由于某種需要，每個(gè)因素改為14個(gè)水平，這時(shí)可用來安排，試驗(yàn)次數(shù)只需增加一次。均勻設(shè)計(jì)的這個(gè)性質(zhì)，有人稱為“試驗(yàn)次數(shù)隨水平增加有“連續(xù)性”，并稱正交設(shè)計(jì)“有跳躍性”。 正交設(shè)計(jì)的數(shù)據(jù)分析程式簡(jiǎn)單，有一個(gè)計(jì)算器就可以了，且“直觀分析”可以給出試驗(yàn)指標(biāo)Y隨每個(gè)因素的水平變化的規(guī)律。均勻設(shè)計(jì)的數(shù)據(jù)要用回歸分析來處理，有時(shí)需用逐步回歸等篩選變量的技巧，非使用電腦不可。幸好電腦在我國(guó)已日趨普及，找一臺(tái)電腦已不是很困難的事。配合本書，我們已編了一套軟件，并有相應(yīng)的說明。 下面我們對(duì)兩種設(shè)計(jì)的均勻性作一比較。（0，1）中，它的n行對(duì)應(yīng)于中的n點(diǎn)。用類似的方法，也可以將表變換為中的n點(diǎn)。這兩個(gè)點(diǎn)集的偏差可以衡量它們的均勻性，或代表性。要合理地比較兩種設(shè)計(jì)的均勻性并不容易，因?yàn)楹茈y找到二個(gè)設(shè)計(jì)有相同的試驗(yàn)數(shù)和相同的水平數(shù)，一個(gè)來自正交設(shè)計(jì)，另一個(gè)來自均勻設(shè)計(jì)。由于這種困難，我們從如下三個(gè)角度來比較： i）試驗(yàn)數(shù)相同時(shí)的偏差的比較表23給出當(dāng)因素?cái)?shù)s=2,3,4 時(shí)兩種試驗(yàn)的偏差比較，其中表23 實(shí)驗(yàn)數(shù)相同時(shí)兩種設(shè)計(jì)的偏差OD＆UDs=2s=3s=4s=5“UD”為均勻設(shè)計(jì)，“OD”為正交設(shè)計(jì)。例如，當(dāng)s=2時(shí)，若用來安排試驗(yàn)，；若用表。顯然后者比前者均勻性要好得多，值得注意的是，在比較中我們沒有全部用表，如果全部用表，其均勻設(shè)計(jì)的偏差會(huì)進(jìn)一步減小。這種比較方法對(duì)正交設(shè)計(jì)是不公平的，因?yàn)楫?dāng)試驗(yàn)數(shù)給定時(shí)，水平數(shù)減少，則偏差會(huì)增大。所以這種比較方法正交設(shè)計(jì)明顯地吃虧。在過去許多正交設(shè)計(jì)的書籍中，強(qiáng)烈地推薦用二水平的正交表，從偏差的角度來看，這種觀點(diǎn)是錯(cuò)誤的。 ii）水平數(shù)相同時(shí)偏差的比較表24的前兩列給出了兩種設(shè)計(jì)水平數(shù)相同，但試驗(yàn)數(shù)不同的比較，其中當(dāng)均勻設(shè)計(jì)的試驗(yàn)數(shù)為n時(shí)，相應(yīng)正交設(shè)計(jì)的試驗(yàn)數(shù)為，，兩者差別并不很大。所以用安排的試驗(yàn)其效果雖然比不上，但其效果并不太差，而試驗(yàn)次數(shù)卻少了6倍。表24水平數(shù)相同時(shí)兩種設(shè)計(jì)的偏差ODDUDD iii）偏差相近時(shí)試驗(yàn)次數(shù)的比較 剛才我們講到比不上，如果讓試驗(yàn)次數(shù)適當(dāng)增加，使相應(yīng)的偏差與的偏差相接近，比的偏差略好，但試驗(yàn)次數(shù)可省36/8=，表25的最后一列給出了多種情形的比較及其可節(jié)省的試驗(yàn)倍數(shù)。綜合上述三種角度的比較，如果用偏差作為均勻性的度量，均勻設(shè)計(jì)明顯地優(yōu)于正交設(shè)計(jì)，并可節(jié)省四至十幾倍的試驗(yàn)。表25水平數(shù)相近時(shí)兩種設(shè)計(jì)的比較ODDUDDOD/UD...第四章 配方均勻設(shè)計(jì)配方設(shè)計(jì)在化工、橡膠、食品，材料工業(yè)等領(lǐng)域中十分重要，設(shè)某產(chǎn)品有種s原料，它們?cè)诋a(chǎn)品中的百分比分別記作。顯然。欲尋找最佳配方，需要做配方試驗(yàn)或混料試驗(yàn)，由于之間不獨(dú)立，前三章所介紹的各種試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法均不適用于配方試驗(yàn)，在文獻(xiàn)中可以查到許多有用的方法，如單純形格子點(diǎn)設(shè)計(jì)（Simplexlattice design)，單純形重心設(shè)計(jì)(Simplexcentriod design),軸設(shè)計(jì)(axial design)等，Cornell[27]對(duì)各種配方試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法作了詳盡的介紹和討論，本章先簡(jiǎn)單介紹文獻(xiàn)中推薦的這些方法，然后指出這些方法的缺點(diǎn)，并推出配方均勻設(shè)計(jì)。 配方試驗(yàn)設(shè)計(jì) Scheffe于1958和1963創(chuàng)造了單純形格子點(diǎn)設(shè)計(jì)和單純形重心設(shè)計(jì)，其方法如下： 單純形格子點(diǎn)設(shè)計(jì)先確定一個(gè)正整數(shù)m ，然后讓每個(gè)原料取值例如當(dāng)s=3，m=1時(shí)，只有3個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)：（1，0，0），（0，1，0），（0，0，1），當(dāng)s=3，m=2時(shí)，有6個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)：（1，0，0），（0，1，0），（0，0，1），（1/2，1/2，0），（1/2，0，1/2），（0，1/2，1/2），當(dāng)s=3，m=3時(shí)，有10個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)：（1，0，0，），（0，1，0），（0，0，1），（1/3，2/3，0），（1/3，0，2/3），（0，1/3，2/3），（2/3，1/3，0），（2/3，0，1/3），（0，2/3，1/3），（1/3，1/3，1/3），一般記為{s，m}設(shè)計(jì)，一個(gè){s，m}設(shè)計(jì)有個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)。 單純形重心設(shè)計(jì) 一個(gè)s維的單純開重心設(shè)計(jì)共有個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)，其中s個(gè)單一成分的點(diǎn)。()個(gè)二種相等成分的試驗(yàn)點(diǎn)，即個(gè)s種相等成分的試驗(yàn)點(diǎn)：當(dāng)s=3時(shí)，共有7個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)，它們?yōu)?(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),除上述兩種設(shè)計(jì)外，還有許多其他方法，如Cornell建議的軸設(shè)計(jì)。 軸設(shè)計(jì) 單純形的重心和它各頂點(diǎn)的聯(lián)線稱為軸，軸設(shè)計(jì)取s個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)，每個(gè)軸上一個(gè)點(diǎn)，使這些點(diǎn)到重心有相等的矩離d，通常0d(s1)/s。 圖12對(duì)s=3時(shí)給出三種設(shè)計(jì)的點(diǎn)圖，由這些點(diǎn)圖我們發(fā)現(xiàn)這些設(shè)計(jì)有如下兩個(gè)問題：1） 試驗(yàn)點(diǎn)在試驗(yàn)范圍內(nèi)分布不十分均勻。2） 在試驗(yàn)邊界上有太多的試驗(yàn)點(diǎn)。眾所周知，在化學(xué)試驗(yàn)中，若有s種成分，如果缺少一種或多種，則或者不起化學(xué)反應(yīng)，或者生成另外一種產(chǎn)品。為了克服上述兩個(gè)缺點(diǎn)，王元、方開泰「9『建議用均勻設(shè)計(jì)的思想來做配方設(shè)計(jì)，產(chǎn)生了配方均勻設(shè)計(jì)。 配方均勻設(shè)計(jì) s種原料的試驗(yàn)范圍是單純形，在上節(jié)已經(jīng)提及，設(shè)我們打算比較n種不同的配方，這些配方對(duì)應(yīng)中n個(gè)點(diǎn)，：1） 給定s和n，根據(jù)附錄的使用表查到生成向量，并由這個(gè)生成向量產(chǎn)生均勻設(shè)計(jì)表或，用{qik}記或中的元素。2） 對(duì)每個(gè)i，計(jì)算 ()3） 計(jì)算 ()由就給出了對(duì)應(yīng)n,。 表26對(duì)n=11,s=()有如下簡(jiǎn)單形式 ()表26 及其生成過程N(yùn)o.C1C2X1X2X311/2213/2223/225/3335/2219/2247/221