【正文】 23456112457822481573363636448721555127846636363775184288754219999999 用上述步驟生成的均勻設計表記作 ，向量h稱為該表的生成向量，有時為了強調(diào)h 的作用，可將 記成. 給定n ，相應的h 可以象上例那樣方便地求得，從而m 是n 的一個函數(shù)，這個函數(shù)曾由大數(shù)學家歐拉研究過，稱為歐拉函數(shù)，記為E(n) .： i）當n為素數(shù)時 ，E(n1)=n1所謂素數(shù)就是一個正整數(shù)，3，4，5，11，13,…均為素數(shù)。經(jīng)計算量大的=，在=，=，和上面用微積分的方法求得的結(jié)果 很接近，如果我們在=，= 附近繼續(xù)搜索，將網(wǎng)格打細，其解可以更接近真正解=，=。 對例2來講，可以用簡單的微積分求得極值，由于X在試驗范圍內(nèi)恒正，故由（）知X 越大，越高。表15死亡率 由方程我們可以給出如下結(jié)論：a）Cd，Cu 和Ni含量過高，對老鼠細胞的死亡率有顯著作用，b）金屬Cd和Cu，Cd和Cr，Cu和Pb有交互作用，其中Cd和Cu，Cu和Pb對死亡率起正交互作用，而Cd和Cu對死亡率起負交互作用，c）Zn可能會中和其它金屬的破壞作用，降低老鼠細胞的死亡率，有興趣的讀者可以作更為詳盡的分析。 ，就是開始將所有的變量全部采用，然后逐步剔除對方程沒有顯著貢獻的變量，直到方程中所有的變量都有顯著貢獻為止。 當影響因變量Y的自變量不止一個時，比如有m個，…,這時Y和X之間的線性回歸方程為 ()其中為回歸系數(shù)，ε為隨機誤差，常假定 。 （b）方差分析和F檢驗 因變量的波動可用來表達，這個波動是由兩個因素造成的；一個是X的變化引起Y相應的變化，另一個是隨機誤差。 設｛（）,i=1,…n｝為一組數(shù)據(jù)，若用回歸方程（）來擬合，則當X=時的估計值為 () 自然，我們要決定一條直線，使其與所有的點都比較接近，最流行求α,β 估計值的辦法是用最小二乘法，令 ()最小二乘法是求α和β使Q達極小， ()式中 () 利用這些公式到例3，得于是 b= a==從而回歸方程為讀者試將該直線畫在圖9上，可以看到擬合的效果是不錯的，衡量擬合效果的好壞，如下的方法是十分有用的。一元線性回歸雖簡單，但從中可以了解回歸分析方法的基本思想/方法和應用。該方案是將A，B，C分別放在表的后3列而獲得的。由于這個特點，使均勻設計更便于使用。 　　3）均勻設計表任兩列組成的試驗方案一般并不等價。當試驗數(shù)n給定時，通常表比表能安排更多的因素。的右上角加“*”和不加“*”代表兩種不同類型的均勻設計表。“均勻分散”使試驗點有代表性；“整齊可比”便于試驗數(shù)據(jù)的分析。正交設計的優(yōu)點本質(zhì)上來自“均勻分散，整齊可比”這兩個特點。 ?。?）將A，B，C三例的“1”，“2”，“3”變?yōu)橄鄳蛩氐娜齻€水平。統(tǒng)計學家將正交設計通過一系列表格來實現(xiàn)，這些表叫做正交表。當因素之間沒交互作用時，這個結(jié)論是正確的；當因素之間有交互作用時，該結(jié)論一般不真，今設例 1的因素間有交互作用，在上述試驗的基礎上，若我們固定B＝120分，C＝6%，變化因素 A并獲得如下結(jié)果：　　　　　　B＝120分 80℃ 85℃ 90℃ 　　　　　　C＝6% 46% 75% 78%發(fā)現(xiàn)有更好的工藝條件。因此，我們需要一種試驗次數(shù)較少，效果又與全面試驗相近的試驗設計方法。 兩個因素之間有交互作用時，其回歸模型不一定呈()形式，更詳細討論可參見第二章第三節(jié)。水中各種金屬含量太多，對人體健康會造成危害，金屬之間對人體的危害也存在交互作用（參見例5）。這時共有四種不同的水平組合，其試驗結(jié)果列于圖1。方程()中，它表示溫度每增加一度，%，這里可以稱為線性回歸效應。通?？梢杂梦宕卧囼灥钠骄祦砉烙嫞涀?，即表示溫度取第個水平時的值與之差。6．因素和水平的含意可以是廣義的。5．水平的間隔大小和生產(chǎn)控制精度是密切相關的。在一次試驗中，因素不宜選得太多（如超過10個），那樣可能會造成主次不分，丟了西瓜，揀了芝麻。 在工業(yè)、農(nóng)業(yè)、科學研究和軍事科學的研究中，經(jīng)常需要作各種試驗，以研究各種因素之間的關系，找到最優(yōu)的工藝條件或最好的配方。于1958年提出了單純形格子點設計，隨后于1963年他又提出了單純形重心設計。10多年來，均勻設計在國內(nèi)得到了廣泛應用，并獲得不少好的成果。如何做試驗，其中大有學問。隨后，,.Bose,，使該分支在理論上日趨完善，在應用上日趨廣泛。材料工業(yè)是工業(yè)中的棟梁，汽車拖拉機的制造離不開各種合金鋼，鈦合金的發(fā)明和發(fā)現(xiàn)使飛機制造工業(yè)產(chǎn)生飛躍。本書第五章將系統(tǒng)介紹配方試驗設計和配方均勻設計。在該例中，我們選擇的試驗范圍如下： 　　溫度： ℃～℃ 　　時間： 75分～165分 　　加堿量： %～%　　然后在上述范圍內(nèi)，每個因素各選三個水平，組成如下的因素水平表：表1 因素水平表因素123溫度（）808590時間（分）90120150加堿量（％）567　　選擇因素和水平關系到一個試驗能否成功的關鍵，下列的注意事項和建議對使用試驗設計的人員可能是有益的。”　　3．試驗的范圍應當盡可能大一點。177。如例如1的試驗Y是得率。由于試驗誤差的存在，不可能產(chǎn)生上例那么理想的情況。時，%，這是不可能的，因為得率總是小于100%的。類似地，當B從變到時，Y增加2010（或4030=10），與A取的水平無關。這時A和B沒有交互作用?！　≡谝豁椩囼炛腥粲衜個因素, 它們各有個水平, 則全面試驗至少需做次試驗。為介紹簡單計，設試驗誤差較小，故不作重復試驗（即在同一試驗條件下將試驗重復多次）。例如，例1的試驗應當繼續(xù)按原來的方法做下去：　　　　　　A＝90℃ 90分 120分 150分　　　　　　C＝6% 73% 78% 84%發(fā)現(xiàn)工藝條件A＝90℃， B＝120分，C＝6%為最優(yōu)工藝條件且似乎已不能改進。還有一批混合水平的表在實際中也十分有用，如 等。這樣試驗方案就排好了。若在一項試驗中有s 個因素，每個因素各有q 水平，用正交試驗安排試驗，則至少要作個試驗，當q 較大時，將更大，使實驗工作者望而生畏。均勻設計就是只考慮試驗點在試驗范圍內(nèi)均勻散布的一種試驗設計方法，其原理將在第三章給出。每個均勻設計表都附有一個使用表，它指示我們?nèi)绾螐脑O計表中選用適當?shù)牧校约坝蛇@些列所組成的試驗方案的均勻度。若用正交表安排三個6水平因素，至少要采用，該表最多能安排三個因素，可要做36次試驗，(參見表23），相差并不十分大。均勻設計表的這一性質(zhì)和正交表有很大的不同，因此，每個均勻設計表必須有一個附加的使用表。其步驟和正交設計很相似，但也有一些不同之處。下章將通過統(tǒng)計分析（其中最主要是回歸分析），可以發(fā)現(xiàn)更好的工藝條件。為了研究這些數(shù)據(jù)中所蘊含的規(guī)律性，我們把各年最大積雪深度作橫坐標，相應的灌溉面積作縱坐標，將這些數(shù)據(jù)點標在平面直角坐標圖上，如圖9，這個圖稱為散點圖。r的值接近于0，兩者沒有線性相關關系。用F值和F表上的臨界值相比，若F 〉 ，表明Y的變化主要是由X的變化造成的，回歸方程（）可信；若F值小于，回歸方程不可信。 由于因變量常常有交互作用，回歸模型()不足以反映實際， ()其中為回歸系數(shù)，這時除了常數(shù)項 以外，方程有m(m+3)/2 項，當m=1,2,… 時項數(shù)為m12345678910項數(shù)25914202735445465若使回歸系數(shù)的估計有可能，必要條件為n1+m(m+3)/ 較大時，()中選擇貢獻顯著的項，實際問題需要考慮高階的交互作用，如 等，有許多有效的篩選變量的技術，如a) 前進法，b) 后退法，c) 逐步回歸法，d) 最優(yōu)子集法（參看[25]）。顯然，回歸方程()的效果優(yōu)于回歸方程().方程()表明，有些人對回歸分析沒有足夠的理解，片面追求大的（或小的），致使選進方程中的項過多，使誤差自由度為1或甚至為0，不應片面追求大的，應選擇n 稍大的均勻設計表，使得誤差有足夠的自由度≥5。 在上述討論中，我們最終建立了回歸模型（）。 對于許多實際工作者，不一定熟悉優(yōu)化方法，手邊沒有優(yōu)化的軟件。 顯然，第一章表46列舉的U（64）,U（74）和U（7）都符合上述定義。 上述三種情形中，以素數(shù)情形為最好，我們最多可以獲得n1列，而非素數(shù)情形，在上述表的結(jié)構(gòu)中永遠不可能有n1 列，例如n=6= ，此時，這說明，當n=6 時，用上述辦法生成的均勻設計表只有2列，即最多只能安排兩個因素，這是太少了，為此，王元，方開泰（1981）建議，可將 表的最后一行去掉來構(gòu)造 ，為了區(qū)別于由() 生成的均勻設計表，我們記它為 ，在U 的右上角加一個“*”號，表列于表17，對照表16我們看到U 表和表之間的關系和各自特點： i）所有的表是由 表中劃去最后一行而獲得；ii）表的最后一行全部由水平n 組成，表的最后一行則不然。 vi）若將或的元素組成一個矩陣的秩最多分別為 及。定義2 設為中的n 個點，任一向量,記為矩形[0,x]的體積，為 中落入[0,x]的點數(shù)，則 ()稱為點集在中的偏差(discrepancy)。由四個圖中也明顯看到表有更好的均勻性。值得指出的是，均勻性度量的方法很多，最初王元，方開泰[3]提出了近似偏差(discrepancy)的均勻性準則，利用這個準則，他們給出了n≤31的使用表。分別記它們的水平為。可惜的是并不是每一次作擬水平設計都能這么好。表21 擬水平設計NoABC1(1)1(5)3(7)22(2)1(10)5(3)13(3)2(4)2(10)24(4)2(9)5(6)25(5)3(3)2(2)16(6)3(8)4(9)27(7)4(2)1(5)18(8)4(7)4(1)19(9)5(1)1(8)210(10)5(6)3(4)1表22 擬水平設計NoABC1(1)1(2)1(5)12(2)1(4)2(10)23(3)2(6)3(4)14(4)2(8)4(9)25(5)3(10)5(3)16(6)3(1)1(8)27(7)4(3)2(2)18(8)4(5)3(7)29(9)5(7)4(1)110(10)5(9)5(6)2若選用的1，2，5三列，用同樣的擬水平技術，便可獲得表22列舉的表，它有較好的均衡性。我們曾遇到一項試驗，有五個因素，每個因素取31水平，其全部組合有個，若用正交設計，至少需要做次試驗，而用均勻設計只需31次，所以均勻設計適合于多因素多水平試驗。均勻設計的數(shù)據(jù)要用回歸分析來處理，有時需用逐步回歸等篩選變量的技巧，非使用電腦不可。由于這種困難，我們從如下三個角度來比較： i）試驗數(shù)相同時的偏差的比較表23給出當因素數(shù)s=2,3,4 時兩種試驗的偏差比較，其中表23 實驗數(shù)相同時兩種設計的偏差OD＆UDs=2s=3s=4s=5“UD”為均勻設計，“OD”為正交設計。表24水平數(shù)相同時兩種設計的偏差ODDUDD iii）偏差相近時試驗次數(shù)的比較 剛才我們講到比不上，如果讓試驗次數(shù)適當增加，使相應的偏差與的偏差相接近，比的偏差略好，但試驗次數(shù)可省36/8=，表25的最后一列給出了多種情形的比較及其可節(jié)省的試驗倍數(shù)。 軸設計 單純形的重心和它各頂點的聯(lián)線稱為軸，軸設計取s個試驗點，每個軸上一個點，使這些點到重心有相等的矩離d，通常0d(s1