【正文】 的每一行是s維空間中的一個(gè)點(diǎn)，故n行對(duì)應(yīng)中的n個(gè)點(diǎn)，若這n個(gè)點(diǎn)在試驗(yàn)范圍內(nèi)均勻，則試驗(yàn)效果好，否則試驗(yàn)效果不好。 本書附錄I，列出了2≤s≤7，5≤n≤31，及n=37的表或表，供使用時(shí)選擇，為了節(jié)省篇幅，凡使用表中沒有推薦的列我們就沒有列出。 v）表比表有更好的均勻性，應(yīng)優(yōu)先采用 表，其細(xì)節(jié)將在下節(jié)討論。如上面討論過的表只有2列，而表可以有6列。表則沒有類似現(xiàn)象，比較容易安排試驗(yàn)。若每個(gè)因素的水平都是由低到高排列，表中最后一號(hào)表17 No.123456112345622461353362514441526355316426654321試驗(yàn)將是所有最高水平相組合，在有些試驗(yàn)中，例如在化工試驗(yàn)中，所有最高水平組合在一起可能使反應(yīng)過分劇烈，甚至爆炸。 iii）若n 不屬于上述兩種情形，這時(shí)n一定可以表為不同素?cái)?shù)的方冪積，即 ()這里 為不同的素?cái)?shù)， 為正整數(shù)，這時(shí)… ()例如n=12 可表為n= ，于是即 最多只可能有4列。表16 123456112457822481573363636448721555127846636363775184288754219999999 用上述步驟生成的均勻設(shè)計(jì)表記作 ，向量h稱為該表的生成向量，有時(shí)為了強(qiáng)調(diào)h 的作用，可將 記成. 給定n ，相應(yīng)的h 可以象上例那樣方便地求得，從而m 是n 的一個(gè)函數(shù)，這個(gè)函數(shù)曾由大數(shù)學(xué)家歐拉研究過，稱為歐拉函數(shù)，記為E(n) .： i）當(dāng)n為素?cái)?shù)時(shí) ，E(n1)=n1所謂素?cái)?shù)就是一個(gè)正整數(shù)，3，4，5，11，13,…均為素?cái)?shù)。 2) 均勻設(shè)計(jì)表的第j列下法生成[mod n] ()這里[mod n] 表示同余運(yùn)算，若jh超過n，則用它減去n的一個(gè)適當(dāng)倍數(shù)，使差落在[1，n] 之中。 符合定義1的均勻設(shè)計(jì)表數(shù)量太多，本節(jié)僅介紹用好格子點(diǎn)法(good lattice point)構(gòu)造的均勻設(shè)計(jì)表，其方法如下： 1) 給定試驗(yàn)數(shù)n，尋找比n小的整數(shù)h，且使n和h的最大公約數(shù)為1。 均勻設(shè)計(jì)表的構(gòu)造 定義1 每一個(gè)均勻設(shè)計(jì)表是一個(gè)方陣，設(shè)方陣有n行m列，每一行是{1,2,...,n}的一個(gè)置換（即1，2，…，n的重新排列）,表的第一行是{1，2，…，n}的一個(gè)子集，但不一定是真子集。經(jīng)計(jì)算量大的=，在=，=，和上面用微積分的方法求得的結(jié)果 很接近，如果我們?cè)?，= 附近繼續(xù)搜索，將網(wǎng)格打細(xì)，其解可以更接近真正解=，=。這種方法將每個(gè)因素的試驗(yàn)范圍均勻打網(wǎng)格，比較這些網(wǎng)格上的值，從而可以近似求得的近似最大（或最小）值。他們也不一定知道SNTO，也可能不會(huì)用微積分去求解極值。工藝條件=，= 并未出現(xiàn)在原有試驗(yàn)方案中，故應(yīng)在這個(gè)條件追加試驗(yàn)，由于的最佳條件在試驗(yàn)范圍邊界，故應(yīng)擴(kuò)大試驗(yàn)范圍。 對(duì)例2來講，可以用簡(jiǎn)單的微積分求得極值，由于X在試驗(yàn)范圍內(nèi)恒正，故由（）知X 越大，越高。如果回歸方程比較復(fù)雜，可以用任何一個(gè)優(yōu)化算法（參見文獻(xiàn)[33，34]）來求最佳工藝條件，許多軟件包都含有優(yōu)化算法。該方程一般僅在試驗(yàn)范圍內(nèi)成立，吡啶量1028。 現(xiàn)以例2來說明如何尋求最好的工藝條件，表9告訴我們，第7號(hào)試驗(yàn)是7次試驗(yàn)中最好工藝條件，吡啶量28， ，這個(gè)工藝條件和最優(yōu)工藝條件常常是很接近的。表15死亡率 由方程我們可以給出如下結(jié)論：a）Cd，Cu 和Ni含量過高，對(duì)老鼠細(xì)胞的死亡率有顯著作用，b）金屬Cd和Cu，Cd和Cr，Cu和Pb有交互作用，其中Cd和Cu，Cu和Pb對(duì)死亡率起正交互作用，而Cd和Cu對(duì)死亡率起負(fù)交互作用，c）Zn可能會(huì)中和其它金屬的破壞作用，降低老鼠細(xì)胞的死亡率，有興趣的讀者可以作更為詳盡的分析。(ppm)變到20(ppm)，最大得出小相差2000倍，于是直接用各因素的水平值作回歸不易獲得好的結(jié)果，通常要對(duì)水平值先作變換，,logCu,logZn,logNi,logCr ，知道六種金屬間有交作用，故應(yīng)選用二次型回歸模型， 和 ,對(duì)表14 環(huán)保試驗(yàn)方案NoCdCuZnNiCrPb1234567891011121314151617 和分別進(jìn)行逐步回歸，發(fā)現(xiàn)四組數(shù)據(jù)的結(jié)果非常吻合，表明試驗(yàn)誤差不大，該試驗(yàn)可以獲得可靠結(jié)論。 均勻設(shè)計(jì)和正交設(shè)計(jì)以及其他試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法一樣，在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和科學(xué)實(shí)驗(yàn)中有廣闊的應(yīng)用前景，本文的文獻(xiàn)中列舉了部分應(yīng)用成果，供讀者參考。 上述的分析只發(fā)現(xiàn)對(duì)Y有顯著作用，其它兩個(gè)因素均沒有顯著作用，該結(jié)論與實(shí)際經(jīng)驗(yàn)不吻合，因此，().這時(shí)方程中有9項(xiàng)(不算).利用逐步回歸技術(shù)求得回歸方程如下： ()其相應(yīng)的 。 ，就是開始將所有的變量全部采用，然后逐步剔除對(duì)方程沒有顯著貢獻(xiàn)的變量，直到方程中所有的變量都有顯著貢獻(xiàn)為止。 執(zhí)行功能a)和b)時(shí)要注意如下原則： 設(shè)在當(dāng)前步驟中有s個(gè)變量不在回歸模型中，（見表10，表13）中F值來衡量，若欲從t 個(gè)變量中刪除一個(gè)變量使其離開回歸模型，我們就是要選擇刪除后使回歸效果最好的變量，既能實(shí)現(xiàn)a)又能實(shí)現(xiàn)b)，兩者之和就是功能c)。本章僅僅采用逐步回歸技術(shù)來篩選變量，這并不意味著逐步因歸在上述四項(xiàng)技術(shù)中最好的。 解：這時(shí)n=7，7組觀察值為（,13,）,(,19,),… (,28,)，它們的均值和為 由于，故它們不必全部列出，將它們代入到方程級(jí)（）中可以解得 從而 a=+ = ()進(jìn)一步對(duì)它作方差分析，其方差分析表列于表13.表13方差分析表方差來源自由度平方和均方F回歸3誤差3總和6當(dāng) α= 時(shí)F表的臨界值，回歸方程()，是否Y和三個(gè)因素之間不可能建立回歸關(guān)系呢？不是的，我們還應(yīng)作進(jìn)一步探討，在下節(jié)我們將繼續(xù)討論該例。 當(dāng)影響因變量Y的自變量不止一個(gè)時(shí)，比如有m個(gè)，…,這時(shí)Y和X之間的線性回歸方程為 ()其中為回歸系數(shù)，ε為隨機(jī)誤差，常假定 。表10方差分析表方差來源平方和自由度均方F顯著性回歸1**誤差8總和9 （c） 殘差分析稱為殘差，它能提供許多有用的信息，表11給出了例3的10個(gè)殘差，利用殘差可以提供如下信息：表11預(yù)報(bào)和殘差表 No.No.16273849510 （i）σ之估計(jì) ()給出了回歸方程的精度，它稱為殘差標(biāo)準(zhǔn)差，若隨機(jī)誤差遵從正態(tài)分布N（0，），則Y的預(yù)報(bào)落在之內(nèi)的概率大約為95%，對(duì)例3可以算得=，且10個(gè)均落于2。可信的程度也可分成不同等級(jí)，在本書中，α=5%時(shí)可信用“*” 表示，α=1%時(shí)可信用“**” 表示。它們分別用 和來表示，從數(shù)學(xué)上可以導(dǎo)出 （)當(dāng)X和Y為線性回歸模型（）時(shí)，它們有如下更方便的計(jì)算公式 ＝ ＝ () 利用統(tǒng)計(jì)量 F＝ ()可以來檢驗(yàn)回歸方程（） 〉，這里為F表中的臨界值，1和n2為自由度， == == F=8當(dāng)α=1%時(shí)。 （b）方差分析和F檢驗(yàn) 因變量的波動(dòng)可用來表達(dá)，這個(gè)波動(dòng)是由兩個(gè)因素造成的；一個(gè)是X的變化引起Y相應(yīng)的變化，另一個(gè)是隨機(jī)誤差。此例當(dāng)顯著性水平α=1%時(shí)，今計(jì)算r= ＞ ，故最大積雪深度與灌溉面積有高度的線性關(guān)系。圖10中（c）表示X和Y沒有任何關(guān)系，（d）表示X和Y有非線性相關(guān)關(guān)系，r的計(jì)算公式為 ()式中 ()對(duì)例3 = r= = 后者很接近于1，故最大積雪深度與灌溉面積有很密切的線性相關(guān)關(guān)系，相關(guān)系數(shù)有一個(gè)缺點(diǎn)，就是它接近1的程度與樣本的組數(shù)n是有關(guān)的，當(dāng)n較小時(shí)，相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值容易接近于1，當(dāng)n較大時(shí)，相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值容易偏小。r的絕對(duì)值越接近于1表示X和Y之間的線性關(guān)系越密切；r〉0，兩者呈正比關(guān)系，叫正相關(guān)；r〈 0兩者呈負(fù)相關(guān)。 設(shè)｛（）,i=1,…n｝為一組數(shù)據(jù)，若用回歸方程（）來擬合，則當(dāng)X=時(shí)的估計(jì)值為 () 自然，我們要決定一條直線，使其與所有的點(diǎn)都比較接近，最流行求α,β 估計(jì)值的辦法是用最小二乘法，令 ()最小二乘法是求α和β使Q達(dá)極小， ()式中 () 利用這些公式到例3，得于是 b= a==從而回歸方程為讀者試將該直線畫在圖9上，可以看到擬合的效果是不錯(cuò)的，衡量擬合效果的好壞，如下的方法是十分有用的。如果我們只研究X與Y的關(guān)系，可以假定 年序最大積雪深度X(尺)灌溉面積Y(千畝)12345678910有如下結(jié)構(gòu)式：Y=α+βX+ε ()式中α,β 稱為回歸系數(shù)，X為自變量，Y為因變量，ε表示隨機(jī)誤差，常常假定ε遵從正態(tài)分布N（0，σ2），這表示誤差為正和負(fù)的機(jī)會(huì)一樣多，σ2 表示誤差的大小。從圖9看到，數(shù)據(jù)點(diǎn)大致落在一條直線附近，這告訴我們變量X與Y之間的關(guān)系大致可看作是線性關(guān)系，從圖9還看到，這些點(diǎn)又不都在一條直線上，這表明X與Y的關(guān)系并沒有確切到給定X就可以唯一地確定Y的程度。例3 為了估計(jì)山上積雪融化后對(duì)下游灌溉的影響，在山上建立了一個(gè)觀測(cè)站，測(cè)量了最大積雪深度（X）與當(dāng)年灌溉面積（Y），得到連續(xù)10年的數(shù)據(jù)于下頁表中。一元線性回歸雖簡(jiǎn)單，但從中可以了解回歸分析方法的基本思想/方法和應(yīng)用。一元線性回歸是處理兩個(gè)變量之間關(guān)系的最簡(jiǎn)單的模型。...第二章 回歸分析簡(jiǎn)介及其在均勻設(shè)計(jì)中的應(yīng)用回歸分析是數(shù)據(jù)分析的有力工具，它能揭示變量之間的相互關(guān)系，因此在均勻設(shè)計(jì)的數(shù)據(jù)分析中成為主要的手段，回歸分析方法和理論十分豐富，有關(guān)書籍?dāng)?shù)以百計(jì)，這里僅作一梗概介紹，細(xì)節(jié)可以參看有關(guān)書籍，如[26,29,30]數(shù)據(jù)處理可使用統(tǒng)計(jì)軟件包SAS，SPSS，MINITAB，BMDP，S等，國(guó)內(nèi)許多部門如中國(guó)均勻設(shè)計(jì)學(xué)會(huì)為均勻設(shè)計(jì)及其數(shù)據(jù)分析制作了專用統(tǒng)計(jì)軟件包，使用更為方便。根據(jù)試驗(yàn)方案進(jìn)行試驗(yàn)，其收率(Y)列于表9的最后一列，其中以第7號(hào)試驗(yàn)為最好，吡啶量28ml。該方案是將A，B，C分別放在表的后3列而獲得的?！　±? （本例來自文獻(xiàn)[1]）在阿魏酸的合成工藝考察中，為了提高產(chǎn)量，選取了原料配比(A)、吡啶量(B)和反應(yīng)時(shí)間(C)三個(gè)因素，它們各取了7個(gè)水平如下：　　原料配比（A）：，　　吡啶量（B）(ml)：10，13，16，19，22，25，28　　反應(yīng)時(shí)間（C）(h)：，根據(jù)因素和水平，我們選取均勻設(shè)計(jì)表或。通常有如下步驟：　　1）根據(jù)試驗(yàn)的目的，選