概率三章藍(lán)底-資料下載頁(yè)
2025-08-04 17:23本頁(yè)面
【正文】 (2) Z=X+Y 2 (X,Y) (1,1) (1,1) (1,2) (2,1) (2,1) (2,2) 2XY － 1 3 4 5 3 2 X+Y2 0 0 3 3 3 6 P 5/20 2/20 6/20 3/20 3/20 1/20 解 :列表 例 1 設(shè) ( X,Y )的聯(lián)合分布律為 1/20 6/20 2 3/20 2/20 1 3/20 5/20 1 2 1 X Y 2) ( X,Y )取值為可列個(gè) ,僅討論兩相互獨(dú)立隨機(jī)變量之和的分布 . 即設(shè) X ,Y相互獨(dú)立 , 其概率分布為 P{X=k}= P(k) k=0,1,2,… P{Y=r}=Q(r) r=0,1,2,… 求 : Z =X+Y 的概率分布 解 : Z 的可能取值為 0,1,2,… P{ Z=i }=P{ X+Y= i} =P{X=0,Y=i}+P{X=1,Y=i1}+…+P{X=i,Y=0} 此結(jié)果可作為公式使用 ,稱為 離散型的卷積公式 解：依題意 ???????riirYiXPrZP0},{}{例 2 若 X和 Y相互獨(dú)立 ,它們分別服從參數(shù)為 的泊松分布 , 證明 Z=X+Y服從參數(shù)為 21 ,??21 ?? ?的泊松分布 . 由卷積公式 i=0,1,2,… j=0,1,2,… !}{ 11ieiXP i?????!}{ 22jejYP j????????????riirYiXPrZP0),()(????rir i λi λ( r i ) !λei!λe021 21?????rir ii)λ( λλλi ! ( r i ) !r!r!e02121,)(! 21)( 21rre ???? ?? ??即 Z服從參數(shù)為 的泊松分布 . 21 ?? ?r =0,1， … 例 3 設(shè) X和 Y相互獨(dú)立， X~B(n1, p),Y~B(n2, p),求 Z=X+Y 的分布 . 回憶第二章對(duì)服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量所作的直觀解釋 : 同樣， Y是在 n2次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件 A出現(xiàn)的次數(shù) ,每次試驗(yàn)中 A出現(xiàn)的概率為 p. 若 X~ B(n1,p),則 X 是在 n1次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件 A出現(xiàn)的次數(shù) ,每次試驗(yàn)中 A出現(xiàn)的概率都為 p. 故 Z=X+Y 是在 n1+n2次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件 A出現(xiàn)的次數(shù)，每次試驗(yàn)中 A出現(xiàn)的概率為 p，于是 Z是以（ n1+n2， p）為參數(shù)的二項(xiàng)隨機(jī)變量，即 Z ~ B(n1+n2, p). 設(shè) ( X,Y) 為連續(xù)型隨機(jī)向量，具有概率密度 f (x , y)，又 Z=g (X,Y) ( g (x , y)為已知的連續(xù)函數(shù) )。大部分情況下， Z是一連續(xù)型隨機(jī)變量。 求 Z的概率密度，方法：先求出 Z 的分布函數(shù) 二維連續(xù)型隨機(jī)變量的函數(shù)分布 再通過(guò) 求出 Z的概率密度 。 即首先找出上式右端的積分區(qū)域 Dz。如果求得了FZ(z) ,那么可通過(guò) 求出 Z 的概率密度 。 求解過(guò)程中，關(guān)鍵在于將事件 {Z≤z}等價(jià)地轉(zhuǎn)化為用(X,Y)表示的事件 {g(X,Y) ≤z}={(X,Y) }, 其中 。 y z 0 x y=(zx)/2 例 6：設(shè) 且 X與 Y相互 獨(dú)立，求 的概率密度。 由于 X與 Y相互獨(dú)立，于是 (X,Y)的概率密度為 先求 Z 的分布函數(shù) FZ ( z ) 解 ： X和 Y的概率密度分別為 當(dāng) z0時(shí) FZ(z)=0 當(dāng) z≥0時(shí) 所以 于是可得 的概率密度 如果一隨機(jī)變量的概率密度為上式，稱該隨機(jī)變量服從參數(shù)為 ?的 瑞利分布 。由題可知，若 X,Y獨(dú)立服從同一分布 則 服從參數(shù)為 ? 的瑞利分布。 設(shè) (X,Y)的聯(lián)合概率密度為 f(x,y)，現(xiàn)求 Z=X+Y的概率密度。令 ，則 Z的分布函數(shù)為 (1)和的分布 固定 z和 y對(duì)積分 作換元法 ,令 x + y=u 得 于是： yxOzyx ??z由概率密度定義，即得 Z 的概率密度為 由 X與 Y的對(duì)稱性，又可得 當(dāng) X與 Y相互獨(dú)立時(shí)，有 其中 分別是 X 和 Y 的密度函數(shù)。 例 7：設(shè)隨機(jī)變量 X,Y相互獨(dú)立，都服從 N(0,1)分布求 Z=X+Y 的密度 有限個(gè)獨(dú)立正態(tài)變量的線性組合仍然服從正態(tài)分布 . 更一般地 , 可以證明 : 例 8：設(shè) X， Y是相互獨(dú)立且其概率密度分別為 求： Z = X+Y 的概率密度 解：當(dāng) z≤ 0時(shí) (x≤ 0或 y≤ 0) f (x,y)=0 故 f Z ( z )=0 當(dāng) 0≤ z ≤ 1時(shí) 當(dāng) z 1 時(shí) 0 z 1 0 1 z 商的分布)2(的分布及 ),m i n (),m a x ()3( YXNYXM ??X Y X Y 解 : (1)串聯(lián)情況 X Y (2)并聯(lián)情況 X
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