概率三章藍(lán)底(存儲(chǔ)版)
【正文】 度 。 當(dāng)（ X,Y）為離散型或連續(xù)型隨機(jī)向量時(shí)，可用它的分布律或概率密度來(lái)判別 X與 Y的獨(dú)立性。 例 5：設(shè) (X,Y)在圓域 x2+y2=1上服從均勻分布，求其邊緣密度。 ),( 21 nXXX ?nxxx , 21 ?},{),...,( 221121 nnn xXxXxXPxxxF ???? ?),( 21 nXXX ? X和 Y自身的分布函數(shù)分別稱為二維隨機(jī)向量( X,Y )關(guān)于 X 和 Y 的 邊緣分布函數(shù) ，分別記為 FX (x), FY (y)。和或分布律，或隨機(jī)變量的概率分布量）為二維離散型隨機(jī)變則稱（YXYX ),(* (X,Y)的分布律也可用表格形式表示 Y X y1 y2 … y i … x 1 x2 . . xi p11 p12 … p1j … p21 p22 … p2j … . . . . . . pi1 pi2 pij… 例 1:從一個(gè)裝有 2個(gè)紅球 ,3個(gè)白球和 4個(gè)黑球的袋中隨機(jī)地取 3個(gè)球 ,設(shè) X和 Y分別表示取出的紅球數(shù)和白球數(shù) ,求(X,Y)的分布律 ,并求 P{X≤1,Y2},P{X+Y=2},及 P{X=1}. 解 :X的可能值為 0,1,2,Y的可能為 0,1,2,3.(X,Y)的所有可能值為 (0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1). 由古典概率計(jì)算可得 于是 (X,Y)的分布可用表示 Y X 0 1 2 3 0 1 2 4/84 18/84 12/84 1/84 12/84 24/84 6/84 0 4/84 3/84 0 0 由 (X,Y)的分布律 ,所求概率為 例：設(shè)隨機(jī)變量 X 在 1,2,3,4四個(gè)整數(shù)中等可能的取值， 另一個(gè)隨機(jī)變量 Y 在 1~X中等可能的取一整數(shù)值，試 求 （ X,Y） 的分布律。 設(shè) (X,Y)的一切可能值為 (xi,yj)， i,j=1,2,… ，且 (X,Y)取各對(duì)可能值的概率為 P{X=xi， Y=yj}=pij， i,j=1,2,… （ *） (1) 非負(fù)性 : pij≥0， i， j=1， 2… ； 1)2(,??jiijp規(guī)范性：的聯(lián)合分布律。 簡(jiǎn)記為 )(,),(),( 21 eXeXeX n?))(,),(),(( 21 eXeXeX n?),( 21 nXXX ?設(shè) 是 n維隨機(jī)變量，對(duì)于任意實(shí)數(shù) ,稱 n元函數(shù) 為 n維隨機(jī)變量 的 聯(lián)合分布函數(shù) 。 dyeexfxxyyxydyyxfxfxyxXX???????????? ????????????????????? ?????????2)1(212)(221212122112221212222112222121121)()())((2)(,),()(???????????????????????????于是由于解：??????????????????????? ?????????????????yeyfxedteexfxytyYxtxX,21)(,2121)(1122222121221212)(22)(122)(111222??????????????????同理則有令：結(jié)論： 1)由聯(lián)合密度能唯一確定兩個(gè)邊緣密度 , 反之不然 2)二維正態(tài)分布的兩邊緣分布均為一維正 態(tài)分布，且不依賴于 ρ。 由獨(dú)立性定義可證 “若 X與 Y相互獨(dú)立，則對(duì)于任意實(shí)數(shù)x1x2,y1y2,事件 { x1X≤x2}與事件 { y1Y≤y2}相互獨(dú)立”。大部分情況下， Z是一連續(xù)型隨機(jī)變量。 設(shè) (X,Y)的聯(lián)合概率密度為 f(x,y)，現(xiàn)求 Z=X+Y的概率密度。 求解過(guò)程中，關(guān)鍵在于將事件 {Z≤z}等價(jià)地轉(zhuǎn)化為用(X,Y)表示的事件 {g(X,Y) ≤z}={(X,Y) }, 其中 。（ i=1,2,3, j=1,2,3）。若在點(diǎn)(x,y)處 f(x,y)連續(xù)，邊緣概率密度 fY(y)連續(xù)，且 fY(y)0，則有： 亦即 類(lèi)似地在相應(yīng)條件下可得在 X=x 條件下 Y 的條件概率密度為 若記 為條件 Y=y下 X的條件概率函數(shù)，則由上式知： 且有邊緣概率密度 當(dāng)－ 1y1時(shí)有： 解： (X,Y)的概率密度為 例 2： 設(shè)隨機(jī)變量 (X,Y)在區(qū)域 D={(x,y)∣ x2+y2≤1}上服從均勻分布，求條件概率密度 。 解： ｛ X=i,Y=j｝的可能取值情況是： i=1, 2, 3, 4, j=1, … i 。43{)2( 。第三章 隨機(jī)向量 第一節(jié) 二維隨機(jī)向
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