數(shù)學(xué)不是“數(shù)”學(xué)——話說無理數(shù)-資料下載頁
2025-08-04 16:55本頁面
【正文】 。這些問題當(dāng)然都已一一妥帖解決。 試對(duì)兩種定義做一比較評(píng)判：康托的定義較實(shí)在，由于明顯涉及了無限（必定有時(shí)間如何發(fā)展的直覺）的概念稱為是動(dòng)態(tài)的。例如，說數(shù)列1,,...定義無理數(shù)√2，必須附加對(duì)于數(shù)列變化規(guī)律的種種說明。戴德金的定義較虛幻，但是是靜態(tài)的，它擺脫了由時(shí)間直覺所附加的束縛。 為了加深印象，現(xiàn)在我們必須用最簡(jiǎn)明最通俗的語言來描述一下“實(shí)數(shù)”：按戴德金的說法，一個(gè)實(shí)數(shù)是有理數(shù)的一個(gè)集合；按康托的說法，一個(gè)實(shí)數(shù)是有理數(shù)的一個(gè)（柯西）序列。數(shù)學(xué)史上還有別的實(shí)數(shù)定義，在那里實(shí)數(shù)又有另外一副面孔。 幾乎在構(gòu)建實(shí)數(shù)體系的同時(shí)，1874年康托還證明了無理數(shù)比有理數(shù)多得多、非代數(shù)數(shù)比代數(shù)數(shù)多得多！這也意味著，無形的、不是根式的無理數(shù)竟比直觀的、根式的無理數(shù)多得多！數(shù)軸上代表有理數(shù)的點(diǎn)雖然是稠密的——任何兩個(gè)有理數(shù)點(diǎn)之間恒有無數(shù)多有理數(shù)點(diǎn)，但是除有理數(shù)點(diǎn)外的“空隙”更多?！翱障丁币坏┨顫M，稠密概念發(fā)展成了連續(xù)的概念，數(shù)軸上點(diǎn)與實(shí)數(shù)完全對(duì)應(yīng)，無理數(shù)問題畫上了永遠(yuǎn)的句號(hào)。這里涉及關(guān)于集合中元素“個(gè)數(shù)”的比較問題，本文限于篇幅就此打住了。 實(shí)數(shù)體系的建立，使得諸如3√2表示什么得以明確，“高等數(shù)學(xué)”中命題“單調(diào)有界數(shù)列必收斂”、閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)得以證明。 然而從應(yīng)用角度或?qū)τ诜菙?shù)學(xué)工作者（絕大多數(shù)人）而言，卻是再次回到古希臘。無理數(shù)仍然是“小數(shù)”，人們并不真正關(guān)心它的“無盡”、“不循環(huán)”，事實(shí)上也無法弄清楚，只是按需要取作適當(dāng)位數(shù)的近似值。例如說到圓周率π，為什么要關(guān)心它是循環(huán)的還是不循環(huán)的呢？“十位小數(shù)就足以使地球周界準(zhǔn)確到一英寸以內(nèi)，三十位小數(shù)便能使整個(gè)可見宇宙的四周準(zhǔn)確到連最強(qiáng)大的顯微鏡都不能分辨的一個(gè)量”（丹齊克《數(shù)：科學(xué)的語言》蘇仲湘譯，上海教育出版社2000年，98頁）。 至于數(shù)學(xué)家，在定義了無理數(shù)之后依然兩手空空，數(shù)學(xué)家所知道的無理數(shù)確實(shí)少的可憐：知道得最多的只是各式各樣的根式，這是古希臘人即已知道的；其次是π與e兩個(gè)非代數(shù)數(shù)。那些比代數(shù)數(shù)多得多的無理數(shù)在哪兒？1900年數(shù)學(xué)家希爾伯特（Hilbert，18621943）提出著名的23個(gè)數(shù)學(xué)問題即包括了這一內(nèi)容。以后的進(jìn)展是，數(shù)學(xué)家證明若α是代數(shù)數(shù)（除0與1）、β是無理的代數(shù)數(shù)，則αβ是非代數(shù)數(shù)（1934年）。然而，若稍微追問一句“(π+e)是無理數(shù)還是有理數(shù)”？則至今都沒有嚴(yán)密的答案。數(shù)學(xué)家心安理得的是建立了無懈可擊的實(shí)數(shù)體系，在堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)上，任何閑言碎語都是不足道的。無理數(shù)所體現(xiàn)的完美無缺、一絲不茍的純粹理性與無孔不入、盡人皆知的世俗應(yīng)用，可謂占盡天上人間風(fēng)光，正是數(shù)學(xué)的魅力之所在。
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