數(shù)學(xué)不是“數(shù)”學(xué)——話說無理數(shù)-全文預(yù)覽
【正文】 tor，18451918）定義：一個實數(shù)定義為有理數(shù)的柯西序列a1,a2,...,an，此處an都是有理數(shù)，且滿足對于任意自然數(shù)p必有自然數(shù)N，使當m＞N,n＞N時有|aman|＜1/q。須注意這兩例有一個重要區(qū)別，對應(yīng)于有理數(shù)的“分割”其“右半”有最小的數(shù)2，對應(yīng)于無理數(shù)的“分割”其“右半”沒有最小的數(shù)。 以下介紹的兩種定義中的“數(shù)”僅指有理數(shù)，而實數(shù)是用“數(shù)”按特定方式構(gòu)成的那樣一些“對象”或“東西”。 進一步擴張數(shù)系的必要性是不成問題的，在很長時間里人們將無理數(shù)理解為其近似值，從實用的角度來說，一個沒有嚴格定義的東西難道就不能存在、不能使用嗎？但是數(shù)學(xué)奉行嚴密邏輯的理念自歐幾里德《幾何原本》以來就堅定不移，不以現(xiàn)實為背景的非歐幾何的產(chǎn)生（18世紀）加深了數(shù)學(xué)家對于擺脫實在性的趨同。由于除了有理數(shù)就沒有數(shù)，√2根本就不是“數(shù)”。但是這個極限，假如是無理數(shù)，在邏輯上是不存在的，除非無理數(shù)已經(jīng)有了定義”（克萊因《古今數(shù)學(xué)思想》第4冊，上?？茖W(xué)技術(shù)出版社1979，46頁）。但這樣做遇到的困難更大：關(guān)鍵的問題是你無法判斷一個數(shù)是無限不循環(huán)的，也不能將兩個無限不循環(huán)的數(shù)進行加減乘除。 徹底摧毀這一定義方式的是1844年柳維爾（Liouville，18091882）證明非代數(shù)數(shù)的存在。 但又有新的問題，挪威數(shù)學(xué)家阿貝爾（Abel，18021829）于1825年證明“一般五次方程不能只用根式求解”，緊接著法國數(shù)學(xué)家伽羅瓦（Galois，18111832）解決“方程須有何種性質(zhì)才可求根式解”的問題，復(fù)合無理數(shù)立即黯然失色。 雖然開方運算可能產(chǎn)生無理數(shù)，但仿照上述辦法來擴張數(shù)系會遇到困難。 以上過程不論用抽象的數(shù)學(xué)語言還是通俗語言來描述都容易為人接受，可以說由于計數(shù)、測量的需要而擴大了數(shù)系?？肆_內(nèi)克 數(shù)系的擴張過程以自然數(shù)為基礎(chǔ)，德國數(shù)學(xué)家克羅內(nèi)克（Kronecker，18231891）說“上帝創(chuàng)造了整數(shù)，其它一切都是人造的”（克萊因《古今數(shù)學(xué)思想》第4冊，上?？茖W(xué)技術(shù)出版社1979，41頁）。既是抽象的又有實在的一面，人們逐漸形成了對數(shù)學(xué)的主流看法——數(shù)學(xué)的現(xiàn)狀“一方面是其內(nèi)在的統(tǒng)一性，另一方面是外界應(yīng)用的更高的自覺性”，數(shù)學(xué)的兩種趨勢是“從外部尋求新問題和在內(nèi)部追求統(tǒng)一”（美國國家研究委員會《振興美國數(shù)學(xué)——90年代的計劃》，葉其孝等譯，世界圖書出版公司1993），而不再局限于給數(shù)學(xué)下一個定義。數(shù)學(xué)不是“數(shù)”學(xué)——話說無理數(shù) “數(shù)學(xué)是一門研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)”的說法在中國曾經(jīng)十分流行，
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