數(shù)學(xué)不是“數(shù)”學(xué)——話說無理數(shù)(完整版)
【正文】 義為有理數(shù)的一個(gè)集合，這個(gè)集合是數(shù)軸上所有有理數(shù)從某處分開的左邊“一半”（數(shù)學(xué)術(shù)語為“分割”），且沒有最大的數(shù)。 現(xiàn)在可以看到無理數(shù)問題的困難所在：從開方運(yùn)算的逆運(yùn)算與確定邊長(zhǎng)為1的正方形的對(duì)角線長(zhǎng)度的需要，都應(yīng)當(dāng)在有理數(shù)的基礎(chǔ)上再擴(kuò)大，這與以往從自然數(shù)擴(kuò)大到整數(shù)、從整數(shù)擴(kuò)大到有理數(shù)沒有什么兩樣。 不循環(huán)的無限小數(shù)當(dāng)然是難以認(rèn)識(shí)，如果我們翻用一下列夫?托爾斯泰著名小說《安娜?卡列尼娜》中的名句“幸福的家庭都是幸福的；不幸的家庭各有各的不幸”，那就是：循環(huán)的小數(shù)都是一樣的循環(huán)，不循環(huán)的小數(shù)各有各的不循環(huán)！16世紀(jì)德國(guó)數(shù)學(xué)家施蒂費(fèi)爾（Stifel，約14861567）說“當(dāng)我們想把它們數(shù)出來（用十進(jìn)小數(shù)表示）時(shí)，…就發(fā)現(xiàn)它們無止境地往遠(yuǎn)處跑，因而沒有一個(gè)無理數(shù)實(shí)質(zhì)上是能被我們準(zhǔn)確掌握住的…。伽羅瓦 數(shù)學(xué)家頑強(qiáng)地推進(jìn)，索性將新的數(shù)系定義為所有有理系數(shù)方程的根（后來稱為代數(shù)數(shù)），有理數(shù)、初等無理數(shù)、復(fù)合無理數(shù)都被包括在內(nèi)。 最早出現(xiàn)的無理數(shù)也與計(jì)數(shù)、測(cè)量有關(guān)。畢達(dá)哥拉斯 無理數(shù)是一個(gè)能恰好地描述數(shù)學(xué)特征的案例。 照此說法，數(shù)學(xué)就不是“數(shù)”學(xué)了。產(chǎn)生零、負(fù)自然數(shù)，合稱整數(shù)； 加法的重復(fù)進(jìn)行產(chǎn)生了乘法，23=6 就是三個(gè)2相加。阿貝爾 考慮到此，容易想到的辦法是用有理數(shù)的加減乘除、乘方、開方定義新的數(shù)，后來被稱為復(fù)合無理數(shù)，顯然它包含了初等無理數(shù)。 由于有理數(shù)可表示成有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)，人們想到用“無限不循環(huán)小數(shù)”來定義無理數(shù)，這也是直至19世紀(jì)中葉以前的實(shí)際做法。 根據(jù)施蒂費(fèi)爾的說法我們只能說√2不是有理數(shù)，而不能說它是無理數(shù)，因?yàn)槲覀冞€沒有定義什么是“無理數(shù)”。例如純粹從數(shù)學(xué)發(fā)展的內(nèi)在動(dòng)力與邏輯展開來定義有理數(shù)： 設(shè)p,q是整數(shù)，則數(shù)偶(p,q)稱為有理數(shù)，規(guī)定兩個(gè)有理數(shù)的乘法、加法規(guī)則，證明它們符合交換律、結(jié)合律等等。邊長(zhǎng)為1的正方形的對(duì)角線線段也應(yīng)對(duì)應(yīng)數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)，這意味著如果只有有理數(shù)，數(shù)軸上存有“空隙”——盡管有理數(shù)非常稠密。例如，說數(shù)列1,...定義無理數(shù)√2，必須附加對(duì)于數(shù)列變化規(guī)律的種種說明。 然而從應(yīng)用角度或?qū)τ诜菙?shù)學(xué)工作者（絕大多數(shù)人）而言，卻是再次回到古希臘。無理數(shù)所體現(xiàn)的完美無缺、一絲不茍的純粹理性與無孔不入、盡人皆知的世俗應(yīng)用，可謂占盡天上人間風(fēng)光，正是數(shù)學(xué)的魅力之所在。例如說到圓周率π，為什么要關(guān)心它是循環(huán)的還是不循環(huán)的呢？“十位小數(shù)就足以使地球周界準(zhǔn)確到一英寸以內(nèi)，三十位小數(shù)便能使整個(gè)可見宇宙的四周準(zhǔn)確到連最強(qiáng)大的顯微鏡都不
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