數學不是“數”學——話說無理數(已修改)
2025-08-16 16:55 本頁面
【正文】 數學不是“數”學——話說無理數 “數學是一門研究數量關系和空間形式的科學”的說法在中國曾經十分流行，這可能與恩格斯著作的長期影響有關。對于數學，今天人們更加認同于如下的說法： “數學是一個完全自成體系的知識領域…數學僅僅討論它本身想象中的實體及關系”（《科學技術百科全書》[麥格勞希爾圖書公司]第1卷數學，科學出版社1980，235236頁）； “到1900年，數學已經從實在性中分裂出來了；它已經明顯地而且無可挽回地失去了它對自然界真理的所有權，因而變成了一些沒有意義的東西的任意公理的必然推論的隨從了”（ 克萊因《古今數學思想》第4冊，上?？茖W技術出版社1979，111頁）。 照此說法，數學就不是“數”學了。然而，數學與生俱來的強大應用性并不因為“數學已經從實在性中分裂出來了”而有稍微的減弱。既是抽象的又有實在的一面，人們逐漸形成了對數學的主流看法——數學的現狀“一方面是其內在的統(tǒng)一性，另一方面是外界應用的更高的自覺性”，數學的兩種趨勢是“從外部尋求新問題和在內部追求統(tǒng)一”（美國國家研究委員會《振興美國數學——90年代的計劃》，葉其孝等譯，世界圖書出版公司1993），而不再局限于給數學下一個定義。畢達哥拉斯 無理數是一個能恰好地描述數學特征的案例。從數學發(fā)展史看，人類對無理數的發(fā)蒙始于古希臘畢達哥拉斯（Pythagoras，公元前582497）學派，但二千四百年后才產生包括無理數在內的實數嚴格定義；從當今教育的知識體系看，學生在初中階段開始接觸無理數，直到大學畢業(yè)卻仍然不明白無理數的實質含義。歷史與現實兩者的契合正好說明無理數的兩面特征，應用性使得它是常見的數學工具之一，而抽象性又使所有非數學工作者不能真正認識它?？肆_內克 數系的擴張過程以自然數為基礎，德國數學家克羅內克（Kronecker，18231891）說“上帝創(chuàng)造了整數，其它一切都是人造的”（克萊因《古今數學思想》第4冊，上海科學技術出版社1979，41頁）。零與自然數的產生源于人類在生存活動中的原始沖動，這一推測想來不會有問題，人的雙手有十指與十進制的廣泛使用也當然有密切關系； 類似于 2+3=5 的事實產生了加法的概念，然而2加上幾會等于1呢？由此需要定義負數：一個數的“負數”即它與該數之和等于0；進而定義減法。產生零、負自然數，合稱整數； 加法的重復進行產生了乘法，23=6 就是三個2相加。然而2乘以幾會等于1呢？由此需要定義倒數：一個數的“倒數”即它與該數之積等于1，進而定義除法，產生既約分數，合稱有理數。 以
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