【正文】 ，果然又增加了一些 . 如果計息 周期無 限制地縮短，比如說每分鐘計息一次，甚至每秒，或者每一瞬間（理論上來說），會發(fā)生什么狀況？本利和會無限制地加大嗎？答案是不會 的 . 因為由極限的定義 en nn ??????? ??? 11lim . 當(dāng)然， 實際生活中，銀行的利息沒有這么高，如果利率只有 5%，那么 1 塊 存一年最多可以拿到多少錢呢？ 在 100%利率的情況下，當(dāng) 1000?n 所得到的數(shù)值非常接近 e . ? ? e????????? ? 10001000 00%1001 . 為了便于思考，取 50?n ,有 ? ?5050 %51 ???????? ? . 因此， %5 利率相當(dāng)于 e 的 20 分之一次方 2012021000501000%100150%51 e????????? ?????? ???????? ? 注： 20 分之一正好等于利率 %5 ，所以公式可以寫成： rateeFV? 式中 rate 就是利率 . 這說明只要是持續(xù)不斷的復(fù)合式增長， e 可以用于任何增長率的計算 . 再考慮時間因素，如果把錢在銀行里存 t 年，最多可以得到多少錢呢？ ? ? rttr eeFV ?? 此式為計算本利和的萬能公式，可以適用于任何時間，任何利率 . 如果銀行利率是 %5 的復(fù)利，請問 1 元存款翻倍需要多少時間？ 求解需要多少時間等價于解方程： 18 21 %5 ?? te 5725 %%5 2ln ????t 結(jié) 果是 年 . 上式最后一個等號，表明用 72 除以利率，可以得到翻倍的大致時間，這就是經(jīng)濟學(xué)上著名的 72 法則 . e 在自然科學(xué)中有著重要的地位和作用，比如在原子物理中放射性物質(zhì)的衰變，生物增殖問題，地質(zhì)科學(xué)中考察地球年齡，天文學(xué)中計算火箭速度，物體的冷卻等等 . 6 結(jié)論 主要發(fā)現(xiàn) 本文在文獻(xiàn) [115]的基礎(chǔ)上，對 e 的無理性和存在性進(jìn)行了證明， 并結(jié)合例題討論了 e在微積 分、概率、及銀行復(fù)利等方面的應(yīng)用，較為系統(tǒng)的、全面的對 e進(jìn)行了研究，有助于人們對 e的進(jìn)一步認(rèn)識 . 啟示 從事數(shù)學(xué)研究在于發(fā)現(xiàn)問題，提出問題，解決問題，只我們刻苦鉆研，善于觀察，就會發(fā)現(xiàn)有很多問題值得去研究，尤其是看似習(xí)以為常的問題 . 鑒于本文用到數(shù)學(xué)分析相關(guān)知識，啟迪我們必須把數(shù)學(xué)專業(yè)基礎(chǔ)知識打牢，才能將數(shù)學(xué)知識靈活運用 . 局限性 由于作者自身的知識儲備和能力有限，文中不可能對 e 的無理性證明的所有不同的方法進(jìn)行研究，也不可能把無理數(shù) e 所有在學(xué)術(shù)或生活中的應(yīng)用實例研究完 . 這些，都有待今后繼續(xù)深入學(xué)習(xí)來提高知識水平和能力 . 努力方向 無理數(shù) e 的應(yīng)用實例很多，今后，我將更加努力深入學(xué)習(xí)，繼續(xù)探究無理數(shù) e 在生活實踐中的應(yīng)用，以做出更好的結(jié)果 . 19 參考文獻(xiàn) [1]桂德懷 .數(shù) e 探源 [J].湖州師范學(xué)院學(xué)報 ,2021,(6):117119. [2]梁洪亮 .數(shù) e 簡介 [J].高等數(shù)學(xué)研究 ,2021:4952. [3]劉琳 .數(shù) e 漫談 [J].河北理科教學(xué)研究 ,2021,4:7072. [4]陳仁政 .e 的密碼 [M].北京 :科學(xué)出版社 ,2021:132137. [5]劉玉璉 ,傅沛仁 ,林玎 ,苑德馨 ,劉寧 .數(shù)學(xué)分析講義上冊 [M]第五版 .北京 :高等教育出版社 ,2021:6768. [6][英 ]斯科特著 ,侯德潤 ,張?zhí)m 譯 .數(shù)學(xué)史 [M].廣西 :師范大學(xué)出版社 ,2021:133142. [7]趙吉才 .神奇的數(shù) e[J].科學(xué)世界 .2021,(11):6869. [8]吳耀強 .關(guān)于無理數(shù) e 概念教學(xué)之拓展性研究 [J].西昌學(xué)院學(xué)報 ,23,(3):5455. [9]周勇 .揭開數(shù) e 的神秘面紗 [J].四川教育學(xué)院學(xué)報 .2021,(401):2829. [10]李純白 .數(shù) e 的教育功能 [J].達(dá)縣師范高等?？茖W(xué)校學(xué)報 ,12,(2):6768. [11]汪曉勤 ,韓祥臨 .中學(xué)數(shù)學(xué)中的數(shù)學(xué)史 [M].北京 :科學(xué)出版社 ,2021:94108. [12]李忠 .數(shù) e 的來龍去脈 [J].北京大學(xué)數(shù)學(xué)通報 ,2021,47,(5):12. [13]馮貝葉 .多項式和無理數(shù) [M].哈爾濱 :哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社 .2021:4548. [14]王慶平 .無理數(shù) e[J].北京大學(xué)數(shù)學(xué)通報 ,2021,44,(6):4042. [15]梁之舜 ,吳偉賢 [M].數(shù)學(xué)古今縱橫談 .北京 :科學(xué)普及出版社 ,1982:5062. The Proof of the Existence and Application of the Irrational Number e Abstract: e is one of the most important mathematical constants, it has been widely used in scientific research and numerical calculations. this paper describes the background of the constant e and introduces convergent series of definitions and limits the definition of e. Then the existence and irrational of e is proved in this thesis. Finally examples are discussed in e calculus, probability, and banking and other aspects of pound interest, a more systematic and prehensive research conducted on e will help raise awareness of e39。s. Key words: existence。 no rational。 probability。 bank of pounding 20 無理數(shù) e 的存在性證明及應(yīng)用 摘 要 e是數(shù)學(xué)上最重要的常數(shù)之一，在科學(xué)研究和數(shù)值計算中有著廣泛的應(yīng)用 . 本文介紹了常數(shù) e的產(chǎn)生背景，介紹了 e的收斂級數(shù)定義和極限定義，確定了 e的取值，并對 e的存在性和無理性進(jìn)行了證明 .最后結(jié)合例題討論了 e在微積分、概率、及銀行復(fù)利等方面的應(yīng)用，較為系統(tǒng)的、全面的對 e進(jìn)行了研究，有助于人們對 e的進(jìn)一步認(rèn)識 . 關(guān)鍵詞 ：存在性；無理性；概率；銀行復(fù)利 致謝 在論文即將完成之際，我的心情無法平靜，從開始進(jìn)入課題到論文的順利完成，有多少可敬的老師、同學(xué)、朋友給了我真誠的幫助，在此畢業(yè)之季，向關(guān)心我的老師、同學(xué) 、父母致以我誠摯的謝意和崇高的敬意 . 本論文是在導(dǎo)師梁 XX 老師的悉心指導(dǎo)下完成的．導(dǎo)師淵博的專業(yè)知識，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)態(tài)度，精益求精的工作作風(fēng)，誨人不倦的高尚師德，嚴(yán)以律己、寬以待人的崇高風(fēng)范，樸實無華、平易近人的人格魅力對我影響深遠(yuǎn)． 梁老師對我的論文要求嚴(yán)格、細(xì)致入微，不厭其煩的給我講解、修改、補充、訂正，使我的論文得以按時保質(zhì)完成，在此向梁老師致以最誠摯的感謝和敬意！ 論文的順利完成，也離不開各位院系領(lǐng)導(dǎo)、老師、同學(xué)和朋友的關(guān)心與幫助．最后，再次向各位老師的辛勤勞動表示感謝，祝愿老師們：身體健康，工作順利！