【正文】 )2≤ log a12， ∴ a ≥116，故選 B. B 二、填空題 6 ． AB 是過橢圓 b2x2＋ a2y2＝ a2b2的中心弦， F ( c, 0) 為它 的右焦點，則 △ F AB 面積的最大值是 _ _ _ _ _ _ ． 解析 如圖所示， F ′ 為橢圓的左焦點， 連結(jié) AF ′ ，BF ′ ，則四邊形 A FB F ′ 為平行四邊形， S △ ABF ＝ S △ AFF ′＝12| FF ′ | h ≤ bc . 當 A 與短軸端點重合時， ( S △ ABF ) m a x ＝ bc . bc 7 ． y ＝ f ( x ) ＝????? 3 x ＋ 6 ， x ≥ － 2－ 6 － 3 x ， x － 2，若不等式 f ( x ) ≥ 2 x － m 恒成立，則實數(shù) m 的取值范圍是 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ． 解析 在平面直角坐標系中作出函數(shù) y ＝ 2 x － m 及 y ＝f ( x ) 的圖象 ( 如圖 ) ，由于不等式 f ( x ) ≥ 2 x － m 恒成立，所以函數(shù) y ＝ 2 x － m 的圖象應(yīng)總在函數(shù) y ＝ f ( x ) 的圖象的下方，因此，當 x ＝－ 2 時， y ＝－ 4 － m ≤ 0 ，所以 m ≥ － 4 ，所以 m 的取值范圍是 [ － 4 ，＋ ∞ ) ． [ － 4 ，＋ ∞ ) 8 ．函數(shù) f ( θ ) ＝si n θ2 ＋ co s θ的最大值為 _ _ _ _ _ _ _ _ ． 解析 si n θ2 ＋ c o s θ可以與兩點連線的斜率聯(lián)系起來，它實際上是點 P ( c o s θ ， s i n θ ) 與點 A ( － 2 ， 0) 連線的斜率，而點 P ( c o s θ ， si n θ ) 在單位圓上移動，問題變?yōu)椋呵髥挝粓A上的點與 A ( － 2 ， 0) 連線斜率的最大值．如圖，顯然，當 P 點移動到 B 點 ( 此時， AB 與圓相切 ) 時， AP 的斜率最大，最大值為 t a n ∠ BAO ＝| OB || AB |＝ 1. 1 三、解答題 9 ．不等式 x2＋ |2 x － 4| ≥ p 對所有 x 都成立，求實數(shù) p 的 最大值． 解 構(gòu)造函數(shù) f ( x ) ＝ | x － 2| ， g ( x ) ＝－x22＋ p2，解不等式 f ( x ) ≥ g ( x ) ，即確定使函數(shù) y ＝ f ( x ) 的圖象在函數(shù) y ＝ g ( x ) “ 上方 ” 的 點的橫坐標 x 的取值范圍，而本題是已知 這個范圍對一切 x 成立，求 p 的最大值． 如圖， y ＝－x22＋p2的圖象可以由 y ＝－x22的圖象的頂點在 y 軸上下移動而得，滿足題目條件的解應(yīng)為 y ＝ | x －2| 的圖象在 y ＝－x22＋p2的圖象上方的極端情況． ????? y ＝－x22＋p2，y ＝ | x － 2| ( x 2 ) ，只有一解． ∴ －x22＋p2＝ 2 － x ， 即 x2－ 2 x － ( p － 4) ＝ 0 ， Δ ＝ 4 ＋ 4( p － 4) ＝ 0 ， p ＝ 3. 即 p 的最大值為 3. 10 ．已知實系數(shù)一元二次方程 x2＋ ax ＋ 2 b ＝ 0 有兩個根， 一個根在區(qū)間 ( 0 , 1 ) 內(nèi)，另一個根在區(qū)間 ( 1 , 2 ) 內(nèi)，求： ( 1 ) 點 ( a ， b ) 對應(yīng)的區(qū)域的面積； ( 2 )b － 2a － 1的取值范圍； ( 3 ) ( a － 1)2＋ ( b － 2)2的值域． 解 方程 x2＋ ax ＋ 2 b ＝ 0 的兩根在區(qū)間 ( 0 , 1 ) 和 ( 1 , 2 ) 上的幾何意義分別是：函數(shù) y ＝ f ( x ) ＝ x2＋ ax ＋ 2 b 與 x 軸的兩個交點的橫坐標分別在區(qū)間 ( 0 , 1 ) 和 ( 1 , 2 ) 內(nèi)， 由此可得不等式組????? f ( 0 ) 0 ，f ( 1 ) 0 ，f ( 2 ) 0 ，?????? b 0 ，a ＋ 2 b ＋ 1 0 ，a ＋ b ＋ 2 0 . 由????? a ＋ 2 b ＋ 1 ＝ 0 ，a ＋ b ＋ 2 ＝ 0.解得 A ( － 3 , 1 ) ． 由????? a ＋ b ＋ 2 ＝ 0 ，b ＝ 0.解得 B ( － 2 , 0 ) ， 由????? a ＋ 2 b ＋ 1 ＝ 0b ＝ 0.解得 C ( － 1 , 0 ) ． ∴ 在如圖所示的 a O b 坐標平面內(nèi)，滿足 約束條件的點 ( a ， b ) 對應(yīng)的平面區(qū)域為 △ ABC ( 不包括邊界 ) ． ( 1 ) △ ABC 的面積為 S△ ABC＝12 | BC | h ＝12( h 為 A 到 Oa 軸的距離 ) ． ( 2 )b － 2a － 1幾何意義是點 ( a ， b ) 和點 D ( 1 , 2 ) 連線的斜率． ∵ kAD＝2 － 11 ＋ 3＝14， kCD＝2 － 01 ＋ 1＝ 1 ， 由圖可知 kADb － 2a － 1 kCD， ∴14b － 2a － 11 ，即b － 2a － 1∈ (14， 1) ． ( 3 ) ∵ ( a － 1)2＋ ( b － 2)2表示區(qū)域內(nèi)的點 ( a ， b ) 與定點 ( 1 , 2 ) 之間距離的平方， ∴ ( a － 1)2＋ ( b － 2)2∈ ( 8 , 1 7 ) ． 返回 第 3 講 分類討論思想 感 悟高 考 時確考向 ( 2 0 1 0 全國 Ⅰ ) 已知函數(shù) f ( x ) ＝ 3 ax4－ 2 ( 3 a ＋ 1) x2＋ 4 x . ( 1 ) 當 a ＝16時，求 f ( x ) 的極值； ( 2 ) 若 f ( x ) 在 ( － 1 , 1 ) 上是增函數(shù)，求 a 的取值范圍． 解 ( 1 ) f ′ ( x ) ＝ 4( x － 1 ) ( 3 ax2＋ 3 ax － 1) ． 當 a ＝16時， f ′ ( x ) ＝ 2( x ＋ 2 ) ( x － 1)2， ∴ f ( x ) 在 ( － ∞ ，－ 2) 內(nèi)單調(diào)遞減， 在 ( － 2 ，＋ ∞ ) 內(nèi)單調(diào)遞增， ∴ 當 x ＝－ 2 時， f ( x ) 有極小值， ∴ f ( x ) 的極小值是 f ( － 2) ＝－ 1 2 . ( 2 ) 在 ( － 1 , 1 ) 上， f ( x ) 是增函數(shù)當且僅當 f ′ ( x ) ＝ 4( x － 1 ) ( 3 ax2＋ 3 ax － 1) ≥ 0 ， ∴ f ′ ( x ) ＝ 4( x － 1 ) ( 3 ax2＋ 3 ax － 1) ≥ 0 ， 即 3 ax2＋ 3 ax － 1 ≤ 0. ① a ．當 a ＝ 0 時， ① 恒成立． b ．當 a ＞ 0 時，若要 ① 成立，則需 3 a 12＋ 3 a 1 － 1 ≤ 0 ，解得 a ≤16，即 0 a ≤16. c ．當 a ＜ 0 時，若要 ① 成立，則需 3 a????????x ＋122－3 a4－ 1 ≤ 0 ， 即－3 a4－ 1 ≤ 0 ， 解得 a ≥ －43. 即－43≤ a 0 . 綜上， a 的取值范圍是????????－43，16. 考題分析 本題考查了函數(shù)導數(shù)的求法、函數(shù)極值的求法、考查了由函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)范圍的方法，考查了分類討論的數(shù)學思想方法．本題的核心是考查考生利用分類討論的思想解決問題的能力． 易錯提醒 ( 1 ) f ′ ( x ) ＝ 0 的根 x ＝ 1 并不是函數(shù) f ( x ) 的極值點．考生易忽視對極值點的判斷． ( 2 ) 不能將 f ( x ) 在 ( － 1 , 1 ) 上單調(diào)遞增轉(zhuǎn)化為不等式進行研究． ( 3 ) 忽視分類討論或討論不到位是本題出錯的關(guān)鍵． 思想方法概述 1 ． 分類討論的思想是一種重要的數(shù)學思想方法．其基 本思路是將一個較復雜的數(shù)學問題分解 ( 或分割 ) 成若干個基礎(chǔ)性問題，通過對基礎(chǔ)性問題的解答來實現(xiàn)解決原問題的思想策略．對問題實行分類與整合，分類標準 等于增加一個已知條件，實現(xiàn)了有效增設(shè)，將大問題 ( 或綜合性問題 ) 分解為小問題 ( 或基礎(chǔ)性問題 ) ，優(yōu)化解題思路，降低問題難度． 2 ．分類討論的常見類型 ( 1 ) 由數(shù)學概念引起的分類討論：有的概念本身是分類的，如絕對值、直線斜率、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等． ( 2 ) 由性質(zhì)、定理、公式的限制引起的分類討論：有的數(shù)學定理、公式、性質(zhì)是分類給出的，在不同的條件下結(jié)論不一致，如等比數(shù)列的前 n 項和公式、函數(shù)的單調(diào)性等． ( 3 ) 由數(shù)學運算要求引起的分類討論：如除法運算中除數(shù)不為零，偶次方根為非負，對數(shù)真數(shù)與底數(shù)的要求，指數(shù)運算中底數(shù)的要求，不等式兩邊同乘以一個正數(shù)、負數(shù)，三角函數(shù)的定義域等． (4) 由圖形的不確定性引起的分類討論：有的圖形類型、位置需要分類：如角的終邊所在的象限；點、線、面的位置關(guān)系等． (5) 由參數(shù)的變化引起的分類討論：某些含有參數(shù)的問題，如含參數(shù)的方程、不等式，由于參數(shù)的取值不同會導致所得結(jié)果不同，或?qū)τ诓煌膮?shù)值要運用不同的求解或證明方法． 3 ．分類討論的原則 ( 1 ) 不重不漏． ( 2 ) 標準要統(tǒng)一，層次要分明． ( 3 ) 能不分類的要盡量避免或盡量推遲，決不無原則地討論． 4 ．解分類問題的步驟 ( 1 ) 確定分類討論的對象：即對哪個變量或參數(shù)進行分類討論． ( 2 ) 對所討論的對象進行合理的分類． ( 3 ) 逐類討論：即對各類問題詳細討論，逐步解決． ( 4 ) 歸納總結(jié)：將各類情況總結(jié)歸納． 熱點分類突破 題型一 根據(jù)數(shù)學概念分類討論 例 1 設(shè) 0 x 1 ， a 0 且 a ≠ 1 ，比較 | l o g a (1 － x )| 與 | l o g a (1 ＋ x )| 的大小． 思維啟迪 先利用 0 x 1 確定 1 － x 與 1 ＋ x 的范圍，再利用絕對值及對數(shù)函數(shù)的概念分類討論兩式差與 0 的大小關(guān)系，從而比較出大小． 解 ∵ 0 x 1 ， ∴ 0 1 － x 1 , 1 ＋ x 1 , 0 1 － x2 1 . ① 當 0 a 1 時， l o g a (1 － x ) 0 ， l o g a (1 ＋ x ) 0 ， 所以 | l o g a (1 － x )| － | l o g a (1 ＋ x )| ＝ l o g a (1 － x ) － [ － l o g a (1 ＋ x )] ＝ l o g a (1 － x2) 0 ； ② 當 a 1 時， l o g a (1 － x ) 0 ， l o g a (1 ＋ x ) 0 ， 所以 | l o g a (1 － x )| － | l o g a (1 ＋ x )| ＝－ l o g a (1 － x ) － l o g a (1 ＋ x ) ＝－ l o g a (1 － x2) 0 . 由 ① 、 ② 可知， | l o g a (1 － x ) | | l o g a (1 ＋ x ) | . 探究提高 本題是由對數(shù)函數(shù)的概念內(nèi)涵引發(fā)的分類討論．由概念內(nèi)涵分類的還有很多，如絕對值： | a |的定義分 a 0 、 a ＝ 0 、 a 0 三種情況；直線的斜率 ` ：傾斜角θ ≠ 9 0 176。 ，斜率 k 存在；傾斜角 θ ＝ 9 0 176。 ，斜率不存在；指數(shù)、對數(shù)函數(shù)： y ＝ ax( a 0 且 a ≠ 1) 與 y ＝ l o gax ( a 0 且a ≠ 1) ，可分為 a 1 , 0 a 1 兩種類型；直線的截距式：直線過原點時為 y ＝ kx ，不過原點時為xa＋yb＝ 1 等． 變式訓練 1 已知點 A ( － 1 , 1 ) ， B ( 1 , 1 ) ，點 P 是直線 y ＝x