【正文】 (1) 求圖示同一桿件在三種受力情況下的應(yīng)變能。此桿在線彈性范圍內(nèi)工作，且變形微小。 l = 1 m d=80 mm Me1=4 kNm (a) m m Me2=10 kNm (b) m m Me2=10 kNm Me1= 4 kNm (c) 80 工程力學(xué)電子教案 扭 轉(zhuǎn) (2) 桿在第三種受力情況下的應(yīng)力和變形是否分別等于前兩種情況下的疊加？應(yīng)變能呢？ l = 1 m d=80 mm Me1=4 kNm (a) m m Me2=10 kNm (b) m m Me2=10 kNm Me1= 4 kNm (c) 81 工程力學(xué)電子教案 扭 轉(zhuǎn) 思考題 89答案： (1) p6p6p3/1082/10162/1)4000(GIGIGIU a??????p6p6p23/10302/2/)1010(GIGIGIU b????????82 工程力學(xué)電子教案 扭 轉(zhuǎn) p6p6p6p23p2310142)106(2)104(GIGIGIGIGIUc????????????(2) bac UUU ??83 工程力學(xué)電子教案 扭 轉(zhuǎn) 思考題 810 求下列各圖桿的應(yīng)變能。 F p=F/l l (a) (b) A B A B A A l T (c) d A B l t (d) d A B 84 工程力學(xué)電子教案 扭 轉(zhuǎn) 思考題 810答案： F l (a) A B A p=F/l l A B A x dx FN(x) px (b) (b) 取微段分析 (a) EAlFU22?EAxxFxFxxFUd)()(21d)(21dNNN???? ?EAlpEAxxpUl6d212220?? ?85 工程力學(xué)電子教案 扭 轉(zhuǎn) 思考題 810答案： l T (c) d A B l t d A B dx tx T(x) (d) (c) p22 GIlTU ?其中 32π4pdI ?(d) 取微段分析 p22 d21dGIxxtU ?86 工程力學(xué)電子教案 扭 轉(zhuǎn) l t d A B dx tx T(x) (d) 思考題 810答案： 432p32p220π3166d21GdltGIltGIxxtUl??? ?87 工程力學(xué)電子教案 扭 轉(zhuǎn) 167。 85 矩形截面的扭轉(zhuǎn) 1. 幾個(gè)概念 非圓截面桿受扭時(shí) ,橫截面會(huì)發(fā)生扭曲。因此其變形、應(yīng)力不能用由平面假設(shè)所得的圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力變形的計(jì)算公式。 (1) 約束扭轉(zhuǎn) 非圓截面桿受扭時(shí) ,既然橫截面要發(fā)生翹曲 ,因此，如果翹曲受到牽制 , 例如桿件是變截面的，或者外力偶不是加在桿的兩端，或者桿的端面受到外部約束而不能自由翹曲，那么桿的橫截面上除了有切應(yīng)力，還有正應(yīng)力。這種扭轉(zhuǎn)稱為約束扭轉(zhuǎn)。 88 工程力學(xué)電子教案 扭 轉(zhuǎn) (2) 自由扭轉(zhuǎn) 橫截面翹曲不受牽制的扭轉(zhuǎn)稱為自由扭轉(zhuǎn)。 要使非圓截面桿受扭時(shí)橫截面上只有切應(yīng)力而無(wú)正應(yīng)力，那么桿件必須是等截面的，而且只在兩端受外力偶作用，同時(shí)端面還能自由翹曲。 本節(jié)主要介紹矩形截面桿自由扭轉(zhuǎn)的情況。 89 工程力學(xué)電子教案 扭 轉(zhuǎn) 2. 矩形截面桿的扭轉(zhuǎn) 主要對(duì)矩形截面桿進(jìn)行強(qiáng)度和剛度計(jì)算。 根據(jù)彈性力學(xué)的分析結(jié)果，矩形截面桿受扭時(shí)橫截面上最大的剪應(yīng)力在長(zhǎng)邊的中點(diǎn)，其計(jì)式為 單位長(zhǎng)度桿的扭轉(zhuǎn)角： 其中： Wt —— 抗扭截面模量 It —— 相當(dāng)極慣性矩 tWT /m ax ?ttGIT /?q90 工程力學(xué)電子教案 扭 轉(zhuǎn) GIt —— 桿的抗扭剛度 It 和 Wt 除了在量綱上與圓截面的 Ip 和 Wp 相同外，在幾何意義上則是不同的。 其中 a和 b由表 8 1差得，此系數(shù)隨 m=h/b的比值而變。其中 h為長(zhǎng)邊尺寸， b為短邊尺寸。 矩形截面： 34 , bWbI tt ba ??則強(qiáng)度條件 ][,][ m a xm a x ttt ??tWT剛度條件 ][,][ m a xm a x qqq ??tGIT91 工程力學(xué)電子教案 扭 轉(zhuǎn) 由彈性力學(xué)分析結(jié)果表明： 橫截面上的最大切應(yīng)力 tmax發(fā)生在長(zhǎng)邊中點(diǎn)。而在短邊中點(diǎn)處的切應(yīng)力則為該邊上各點(diǎn)處切應(yīng)力中的最大值可以按下式計(jì)算。 如右圖，矩形截面周邊上各點(diǎn)處的切應(yīng)力方向必與周邊相切。這是因?yàn)闂U表面上沒(méi)有切應(yīng)力，故由切應(yīng)力互等定理可知： hmaxtm axtut ??92 工程力學(xué)電子教案 扭 轉(zhuǎn) 在橫截面上周邊上各點(diǎn)處不可能有垂直于周邊的切應(yīng)力分量。 hmaxt 矩形截面上 ,頂點(diǎn)處的切應(yīng)力必等于零。 93 工程力學(xué)電子教案 扭 轉(zhuǎn) 彈性力學(xué)的分析結(jié)果還表明 : 狹長(zhǎng)矩形截面的 It 和 Wt 有 切應(yīng)力在沿長(zhǎng)邊各點(diǎn)處的方向均與長(zhǎng)邊相切 ,其數(shù)值除在靠近頂點(diǎn)處以外均相等，如圖所示： th tIhtWhtI ttt /3/,3/23 ???94 工程力學(xué)電子教案 扭 轉(zhuǎn) 一矩形截面等直鋼桿，其橫截面尺寸為 h =100 mm, b=50 mm,長(zhǎng)度 l =2 m， 在桿的兩端作用一對(duì)矩為 T的扭轉(zhuǎn)力偶。已知 T=4000 Nm， 鋼的允許切應(yīng)力 [ t ]=100MPa， G = 8 104 MPa , [q ]=1o /m, 試校核桿的強(qiáng)度和剛度。 解： mN40 00 ??T250/100/ ??? bhm, ?ba ＝查表得：36333t)1050(????????? bW b于是：例題 89 95 工程力學(xué)電子教案 扭 轉(zhuǎn) 以上結(jié)果表明，此桿滿足強(qiáng)度和剛度條件的要求。 48434t m10286)1050( ?? ??????? bI aM P a100M P a65)(4 0 0 0/ 6tm a x ????? ?WTt則：][/m1rad / m0 1 8 4 )102 8 6108/(4 0 0 0/810tqq??????????GIT例題 89 96 工程力學(xué)電子教案 扭 轉(zhuǎn)