【正文】 (1) 求圖示同一桿件在三種受力情況下的應變能。此桿在線彈性范圍內工作，且變形微小。 l = 1 m d=80 mm Me1=4 kNm (a) m m Me2=10 kNm (b) m m Me2=10 kNm Me1= 4 kNm (c) 80 工程力學電子教案 扭 轉 (2) 桿在第三種受力情況下的應力和變形是否分別等于前兩種情況下的疊加？應變能呢？ l = 1 m d=80 mm Me1=4 kNm (a) m m Me2=10 kNm (b) m m Me2=10 kNm Me1= 4 kNm (c) 81 工程力學電子教案 扭 轉 思考題 89答案： (1) p6p6p3/1082/10162/1)4000(GIGIGIU a??????p6p6p23/10302/2/)1010(GIGIGIU b????????82 工程力學電子教案 扭 轉 p6p6p6p23p2310142)106(2)104(GIGIGIGIGIUc????????????(2) bac UUU ??83 工程力學電子教案 扭 轉 思考題 810 求下列各圖桿的應變能。 F p=F/l l (a) (b) A B A B A A l T (c) d A B l t (d) d A B 84 工程力學電子教案 扭 轉 思考題 810答案： F l (a) A B A p=F/l l A B A x dx FN(x) px (b) (b) 取微段分析 (a) EAlFU22?EAxxFxFxxFUd)()(21d)(21dNNN???? ?EAlpEAxxpUl6d212220?? ?85 工程力學電子教案 扭 轉 思考題 810答案： l T (c) d A B l t d A B dx tx T(x) (d) (c) p22 GIlTU ?其中 32π4pdI ?(d) 取微段分析 p22 d21dGIxxtU ?86 工程力學電子教案 扭 轉 l t d A B dx tx T(x) (d) 思考題 810答案： 432p32p220π3166d21GdltGIltGIxxtUl??? ?87 工程力學電子教案 扭 轉 167。 85 矩形截面的扭轉 1. 幾個概念 非圓截面桿受扭時 ,橫截面會發(fā)生扭曲。因此其變形、應力不能用由平面假設所得的圓桿扭轉時的應力變形的計算公式。 (1) 約束扭轉 非圓截面桿受扭時 ,既然橫截面要發(fā)生翹曲 ,因此，如果翹曲受到牽制 , 例如桿件是變截面的，或者外力偶不是加在桿的兩端，或者桿的端面受到外部約束而不能自由翹曲，那么桿的橫截面上除了有切應力，還有正應力。這種扭轉稱為約束扭轉。 88 工程力學電子教案 扭 轉 (2) 自由扭轉 橫截面翹曲不受牽制的扭轉稱為自由扭轉。 要使非圓截面桿受扭時橫截面上只有切應力而無正應力，那么桿件必須是等截面的，而且只在兩端受外力偶作用，同時端面還能自由翹曲。 本節(jié)主要介紹矩形截面桿自由扭轉的情況。 89 工程力學電子教案 扭 轉 2. 矩形截面桿的扭轉 主要對矩形截面桿進行強度和剛度計算。 根據彈性力學的分析結果，矩形截面桿受扭時橫截面上最大的剪應力在長邊的中點，其計式為 單位長度桿的扭轉角： 其中： Wt —— 抗扭截面模量 It —— 相當極慣性矩 tWT /m ax ?ttGIT /?q90 工程力學電子教案 扭 轉 GIt —— 桿的抗扭剛度 It 和 Wt 除了在量綱上與圓截面的 Ip 和 Wp 相同外，在幾何意義上則是不同的。 其中 a和 b由表 8 1差得，此系數隨 m=h/b的比值而變。其中 h為長邊尺寸， b為短邊尺寸。 矩形截面： 34 , bWbI tt ba ??則強度條件 ][,][ m a xm a x ttt ??tWT剛度條件 ][,][ m a xm a x qqq ??tGIT91 工程力學電子教案 扭 轉 由彈性力學分析結果表明： 橫截面上的最大切應力 tmax發(fā)生在長邊中點。而在短邊中點處的切應力則為該邊上各點處切應力中的最大值可以按下式計算。 如右圖，矩形截面周邊上各點處的切應力方向必與周邊相切。這是因為桿表面上沒有切應力，故由切應力互等定理可知： hmaxtm axtut ??92 工程力學電子教案 扭 轉 在橫截面上周邊上各點處不可能有垂直于周邊的切應力分量。 hmaxt 矩形截面上 ,頂點處的切應力必等于零。 93 工程力學電子教案 扭 轉 彈性力學的分析結果還表明 : 狹長矩形截面的 It 和 Wt 有 切應力在沿長邊各點處的方向均與長邊相切 ,其數值除在靠近頂點處以外均相等，如圖所示： th tIhtWhtI ttt /3/,3/23 ???94 工程力學電子教案 扭 轉 一矩形截面等直鋼桿，其橫截面尺寸為 h =100 mm, b=50 mm,長度 l =2 m， 在桿的兩端作用一對矩為 T的扭轉力偶。已知 T=4000 Nm， 鋼的允許切應力 [ t ]=100MPa， G = 8 104 MPa , [q ]=1o /m, 試校核桿的強度和剛度。 解： mN40 00 ??T250/100/ ??? bhm, ?ba ＝查表得：36333t)1050(????????? bW b于是：例題 89 95 工程力學電子教案 扭 轉 以上結果表明，此桿滿足強度和剛度條件的要求。 48434t m10286)1050( ?? ??????? bI aM P a100M P a65)(4 0 0 0/ 6tm a x ????? ?WTt則：][/m1rad / m0 1 8 4 )102 8 6108/(4 0 0 0/810tqq??????????GIT例題 89 96 工程力學電子教案 扭 轉