第二章初等模型-資料下載頁(yè)
2025-08-01 13:10本頁(yè)面
【正文】 常數(shù)。 ? g,? ? ? 由于關(guān)系⒀兩邊的兩量綱應(yīng)該相等 故得 ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ,T l m g? ? ???由基本量綱得 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 22 ,T L M L T L M T?? ? ? ? ? ???????? ??由此得關(guān)系式 0,0,2 1 ,??????????????該方程組的唯一解是 11, 0 , .22? ? ?? ? ? ?代入到⒀得 .lTg??而我們知道正確的公式是 g?? 注意得是，上面兩個(gè)公式僅有常數(shù)的差別。此說(shuō)明在 利用量綱分析法得到了所需要的關(guān)系之后，還要用實(shí)驗(yàn) 數(shù)據(jù)來(lái)確定未知常數(shù)。 另外在例中的關(guān)系式中，小球的質(zhì)量 沒有出現(xiàn)，此 說(shuō)明周期與小球質(zhì)量無(wú)關(guān)。 m 例 2 速度為 的風(fēng)吹在迎風(fēng)面積為 的風(fēng)車上，空氣 密度為 試用量綱分析法建立風(fēng)車功率與 之間 的關(guān)系。 v S,? ,vS? 解 設(shè)功率為 且 ,P.P V S? ? ????由功率的定義： 所以 ,dAP A F ldt? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1!1 2 32,P A T F L TM LT T L M L T?????????????又由假設(shè)： ,P V S? ? ????從而得到： ? ? ? ?? ? ? ? ? ?1 2 323 ,P L T L M LL M T? ? ??? ? ? ? ???? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ??比較上兩式即得： 2 3 21,3? ? ???? ? ?????? ? ? ??即有： 所以關(guān)系式為 3 , 1 , 1 ,? ? ?? ? ?3 .P V S??? 例 3 不可壓縮粘滯流體在管道內(nèi)的穩(wěn)定流動(dòng)問(wèn)題。 解 在該問(wèn)題中牽涉到的物理量有：管長(zhǎng) 流速 流 體密度 管道兩端的壓強(qiáng)差 和重力加速度 基本量 綱是 其它的物理量綱有： ,l ,v,? p .g? ? ? ? ? ?, , .L M T? ? ? ? ? ? ? ?13, , ,l L v LT M L???? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? 12 ,fp M L TS ???? ???? ??????設(shè)粘滯系數(shù)為 則由定義 得 ,? ,vpx????? ? ? ?1 1 2,.M L T g LT? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ? 再假設(shè)這些物理量之間有關(guān)系 3 5 61 2 4 ,l v p g? ? ?? ? ?? ? ??上式兩邊的量綱必須相同，即有： ? ?? ?2 3 4 5 61 1 3 1 2 1 1 2,L L T M L M L T M L T L T? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ??由此得到方程組： 1 2 3 4 5 63452 4 5 6300.2 2 0? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ??? ? ? ? ? ??方程組的系數(shù)矩陣為 1 1 3 1 1 10 0 1 1 1 0 ,0 1 0 2 1 2A? ? ??????? ? ? ??? 注意到三階行列式 1 1 30 0 1 1 0 ,0 1 0D?? ? ??從而系數(shù)矩陣的秩為 3，方程組有 3個(gè)基本解： ? ?? ?? ?? ?? ?? ?1230 2 1 1 0 0 ,1 1 1 0 1 0 ,1 2 0 0 0 1 .TTT???? ? ? ???? ? ? ???????由此獲得三個(gè)關(guān)系式： 2 1 1 1 1 21 2 3, , .v p l v l v g? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?由定理 2得 ? ?21 2 3 2, , , , 0 .p l v vv g l?? ? ? ? ???????????其中 在理論力學(xué)中分別被稱為 Reynold數(shù)和 Froude 常數(shù)。 23,??七、練習(xí) 1000名學(xué)生 , 其中 255人住在 樓 , 333住在 樓 , 432住在 樓 , 學(xué)生們要成立一個(gè) 10人的委員會(huì) , 試 用兩中方法確定各宿舍的委員個(gè)數(shù) . 并當(dāng)委員數(shù)上升 15 人時(shí) , 確定分配方案 . A BC , 有些大包裝商品的單位重量?jī)r(jià)格比小 包裝商品的單位重量?jī)r(jià)格要低一些 , 試用比例法來(lái)構(gòu)造 產(chǎn)生這種現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型 . 提示 : 可以按下面的思路來(lái)構(gòu)造模型 : ⑴ 商品價(jià)格與商品生產(chǎn)成本 , 運(yùn)輸成本 , 包裝成本等 因素有關(guān) , 先確定哪些量與商品重量成正比 , 哪些量與 商品包裝的表面積成正比 . 當(dāng)商品的外形不變時(shí)來(lái)確 定商品重量和商品包裝的表面積的關(guān)系 , 在此基礎(chǔ)上 , 建立起保裝商品的單位重量的價(jià)格 與商品重量 的 關(guān)系 . c w⑵ 根據(jù)在⑴中所建立的關(guān)系式 , 計(jì)算出單位的變化率 . 如此 , 就能根據(jù)這個(gè)模型來(lái)解釋本題所提出的商品現(xiàn)象 . ⑶ 設(shè)某商品有三種不同的包裝 , 它們的重量分別為 并且 相應(yīng)的單價(jià)為 和 試證明 1,w23,ww 1 2 3: : 1 : 2 : 4 ,w w w ? 12,cc23122 1 3 2.ccccw w w w?? ???并說(shuō)明上式的實(shí)際意義 . 熱量 . 記水的流速 密度 粘性系數(shù) 熱傳導(dǎo)系數(shù) 人體尺寸 證明人體與水的熱交換系數(shù) 與上述各物理 量的關(guān)系可表為 ,v ,? ,? ,k,d h,k v d ch dk??? ???? ????其中 是未定函數(shù) , 定義為單位時(shí)間內(nèi)人體的單位面積 在人體與水的溫差為 時(shí)的熱量交換 . ? h1oC
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