【正文】 ? ?? ?2 3 4 5 61 1 3 1 2 1 1 2,L L T M L M L T M L T L T? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ??由此得到方程組： 1 2 3 4 5 63452 4 5 6300.2 2 0? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ??? ? ? ? ? ??方程組的系數(shù)矩陣為 1 1 3 1 1 10 0 1 1 1 0 ,0 1 0 2 1 2A? ? ??????? ? ? ??? 注意到三階行列式 1 1 30 0 1 1 0 ,0 1 0D?? ? ??從而系數(shù)矩陣的秩為 3，方程組有 3個基本解： ? ?? ?? ?? ?? ?? ?1230 2 1 1 0 0 ,1 1 1 0 1 0 ,1 2 0 0 0 1 .TTT???? ? ? ???? ? ? ???????由此獲得三個關(guān)系式： 2 1 1 1 1 21 2 3, , .v p l v l v g? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?由定理 2得 ? ?21 2 3 2, , , , 0 .p l v vv g l?? ? ? ? ???????????其中 在理論力學(xué)中分別被稱為 Reynold數(shù)和 Froude 常數(shù)。這是 點出發(fā)時 船的航向及帆的朝向 . 行駛時點 將不在船的正東方， 上述結(jié)論不再成立，此時，應(yīng)不斷調(diào)整 和 ，才能盡 快達(dá)到 點 . ?? 6 0 7 5oo 1s2s?? AB?B六、量綱分析法 量綱分析法是 20世紀(jì)初提出的在物理領(lǐng)域中建立數(shù)學(xué) 模型的一種方法。下圖給出了 曲線， 當(dāng) 上升時， 迅速下降；而當(dāng) 到達(dá)一定值后， 下降趣緩。 632 1 6 . 6 1 5200?? 丙系： . 342 1 3 . 5 7200??即：甲系 11人，乙系 7人，丙系 3人 . 從中可以看出這樣的分配方案并不合理 . 作為丙系的 代表是不會接受這樣的分配方案的 . 模型的建立 假設(shè) ，并且為有限個，設(shè)為 個 。 n ，并且不超過席位數(shù) . 設(shè) 單位數(shù)為 ，即 。由此可見， 不必過大。它通過物理定律中的量綱齊次原則， 確定各物理量之間的關(guān)系，最終建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)關(guān)系， 從而得到對應(yīng)問題的數(shù)學(xué)模型 . 許多物理量是有量綱的。 23,??七、練習(xí) 1000名學(xué)生 , 其中 255人住在 樓 , 333住在 樓 , 432住在 樓 , 學(xué)生們要成立一個 10人的委員會 , 試 用兩中方法確定各宿舍的委員個數(shù) . 并當(dāng)委員數(shù)上升 15 人時 , 確定分配方案 . A BC , 有些大包裝商品的單位重量價格比小 包裝商品的單位重量價格要低一些 , 試用比例法來構(gòu)造 產(chǎn)生這種現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型 . 提示 : 可以按下面的思路來構(gòu)造模型 : ⑴ 商品價格與商品生產(chǎn)成本 , 運輸成本 , 包裝成本等 因素有關(guān) , 先確定哪些量與商品重量成正比 , 哪些量與 商品包裝的表面積成正比 . 當(dāng)商品的外形不變時來確 定商品重量和商品包裝的表面積的關(guān)系 , 在此基礎(chǔ)上 , 建立起保裝商品的單位重量的價格 與商品重量 的 關(guān)系 . c w⑵ 根據(jù)在⑴中所建立的關(guān)系式 , 計算出單位的變化率 . 如此 , 就能根據(jù)這個模型來解釋本題所提出的商品現(xiàn)象 . ⑶ 設(shè)某商品有三種不同的包裝 , 它們的重量分別為 并且 相應(yīng)的單價為 和 試證明 1,w23,ww 1 2 3: : 1 : 2 : 4 ,w w w ? 12,cc23122 1 3 2.ccccw w w w?? ???并說明上式的實際意義 . 熱量 . 記水的流速 密度 粘性系數(shù) 熱傳導(dǎo)系數(shù) 人體尺寸 證明人體與水的熱交換系數(shù) 與上述各物理 量的關(guān)系可表為 ,v ,? ,? ,k,d h,k v d ch dk??? ???? ????其中 是未定函數(shù) , 定義為單位時間內(nèi)人體的單位面積 在人體與水的溫差為 時的熱量交換 . ? h1oC。tT? 長度量綱 ? ? ? ?。盡管雙層玻璃窗會增加 制作工藝上的成本，但它在降低熱量流失上的功效是相 當(dāng)可觀的。 B 在前例中， ? ? ? ?, 0 . 2 , , 0 . 0 2 .A A B C C Dr n n r n n?? 我們的目標(biāo)是：在每一次分配時都使得相對不公平度 都達(dá)到最小 . 解模 設(shè) 單位已有席位 ， 單位有席位 ，并假定 吃 虧，即 ，因而 有意義 . AAn B Bn AABkk? ? ?,A A Br n n 現(xiàn)考慮下一個席位的分配 : ⑴ 席位分配給 仍然是 吃虧，即 A A,1ABABppnn??毫無疑問，該席位應(yīng)該分配給 .A ⑵ 把下一個席位分配給 使 吃虧，即 A B,1ABABppnn??此時可算出 的相對不公平度 B? ? 11 , 1 ,BAB A BABpnr n npn?? ? ? ?⑸ ⑶ 把下一個席位分配給 一定是 吃虧，此時相對不 公平度為 B A? ? 1, 1 1 ,ABA A BBApnr n npn?? ? ? ?⑹ ⑷ 把下一個席位給 使 吃虧，這是不可能的。 這樣的分配方案是否公平呢？ 假設(shè)學(xué)生會成員數(shù)上升到 21人，問應(yīng)該如何分配？ 甲系： 。 實驗數(shù)據(jù)表明，常用玻璃的熱傳導(dǎo)系數(shù)為 12,kk331 4 1 0 8 1 0 J / c m s k w h ,