第三章連續(xù)系統(tǒng)仿真方法學(xué)-資料下載頁
2025-08-01 13:01本頁面
【正文】 ),(3),(4)可求出 c1， c2（略），最終得 e x p { } e x p { }( , )( , ) ( e x p { } e x p { } )s in h ( )1c o s h ( )PPs G y s G yysT L s I G s s G y s G ys G yI G s s G y???? ? ??????????令 s=jw可得 y=L處角運(yùn)動(dòng)的頻率響應(yīng) sin( )( , ) 1 ( 5 )( , ) c o s( )PLGLjT L j I G L G????? ? ? ? ???顯然其中有無限多個(gè)固有頻率： , ( 1 , 3 , 5 , )2kkG kL?????若結(jié)構(gòu)以其中某一固有頻率振動(dòng)，則此時(shí)的動(dòng)態(tài)扭轉(zhuǎn)曲線稱為振型 (5)式可用來求振型 ( , ) ( , ) ( , ) s i n ( )( , ) ( , ) ( , ) 2k k kk k ky j y j T L j kyL j T L j L j L? ? ? ? ? ?? ? ? ? ??? 2．物理集總參數(shù)法 4212 2 /iK K K r G L?? ? ?Ti( t ) θiK iK 1K 2J 1J 2θ1θ2扭振系統(tǒng)可用物理集總參數(shù)法離散形式（集總塊）近似，集總塊數(shù)目可通過經(jīng)驗(yàn)或試驗(yàn)的方法確定。設(shè)為 2個(gè)集總塊 選擇每個(gè)集總塊質(zhì)心作為集總慣量 J 所在位置，并以此確定 K（質(zhì)心之間桿長(zhǎng)的彈性），有 412 /4J J L r???? 原系統(tǒng)可以表示為一個(gè)兩段集總模型： ?????????????24242141421442)(4)(??????????????????LrLGrLGrLrLGrT i可求得兩個(gè)固有頻率 12GLGL?????????????而準(zhǔn)確值為 當(dāng)集總數(shù)量增大時(shí)，可預(yù)測(cè)出更多的固有頻率，數(shù)值也更精確 3. 有限差分法 對(duì)應(yīng)物理離散法有數(shù)學(xué)離散法，如有限差分法，其中常用的為中心差分法 設(shè) y=f(x,t)，當(dāng) t為常值時(shí)，中心差分法即用切點(diǎn)Pn上的中心差分近似函數(shù)曲線的斜率 xy xn 1 xn xn + 1yn 1 ynyn + 1Pn( xn, yn)h h112nnnyyyxh???? ??二階導(dǎo)數(shù)類似 111122,n n n nnny y y yyyx h x h??????????即一階導(dǎo)數(shù)為 2111122222[ ] / n n nn nny y yy y y hx x x h??????? ? ?? ? ? ?? ? ?對(duì)于具有兩個(gè)位置變量的函數(shù) f(x,y)，偏導(dǎo)數(shù)為 ( , ) ( , )2i i i if x h y f x h yfxh? ? ?? ??簡(jiǎn)記 f(xi+h,yi)=fi+1,j 則： 21 , 1 , 1 , , 1 ,222, 1 , 1 , 1 , , 12221 , 1 1 , 1 1 , 1 1 , 122,22,24i j i j i j i j i ji j i j i j i j i ji j i j i j i jf f f f fffx h x hf f f f fffy h y hf f f ffx y h? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ???????? ? ??????????????利用中心差分公式可將空間變量離散化，結(jié)果是把偏微分方程轉(zhuǎn)化為常微分方程 扭振桿分析 對(duì)一維波動(dòng)方程 2222tGy ????? ???有二階導(dǎo)數(shù)，則至少要用三點(diǎn)求中心差分 因邊界條件包含了端點(diǎn)的值，即有 y=0和 y=L的點(diǎn)，至少還要再加上一個(gè)點(diǎn) θ3= 0θ2= L / 2θ1= L L / 2 L / 2研究 Ti=0時(shí)的自由振動(dòng) 考慮 y=L/2處，中心差分公式： 223 2 1 22 2 22 (1)( / 2 )dy L G d t? ? ? ?????? ???y=0， y=L處不能直接用中心差分公式（無邊界條件外的點(diǎn)），但 y=L點(diǎn)上有已知零扭矩的邊界條件，由扭矩與扭轉(zhuǎn)應(yīng)變 y??? 成比例，有 12120( /2yLyL??? ????? ? ? ? ?? 后 向 差 分 ）則 (1)式化簡(jiǎn)為 22222 04dLG d t?? ???可得單一固有頻率： 2 GL? ?? 4. 有限元法 ? 用許多相互聯(lián)接的小子區(qū)域或元素表示所研究的介質(zhì)（差分法的幾何表示是網(wǎng)點(diǎn)陣列），元素可以有不同的形狀和大小，常見的為三角形元素，稱有限元離散化 ? 優(yōu)點(diǎn) ? 有限元形式的離散化更能和實(shí)際對(duì)象的邊界相吻合 ? 每個(gè)元素中，所有問題未知數(shù)（溫度、壓力、流速等）也可按近似于其實(shí)際變化的已知方式變化 ? 比前兩種所假設(shè)的逐步變化形式更接近實(shí)際情況 ? 缺點(diǎn) ? 原理復(fù)雜，有些情況不適用 ? 扭振桿系統(tǒng)仿真結(jié)果： ? 用二元素（類似于有限差分的劃分方式）求解，可得固有頻率的系數(shù)分別為 基于常微分方程仿真方法的偏微分方程仿真建模方法 ? 線上求解法 (method on lines) ? 基本思想：將空間變量進(jìn)行離散化，而時(shí)間變量仍保持連續(xù)，從而將偏微分方程轉(zhuǎn)化為一組常微分方程，進(jìn)而基于常微分方程的各種仿真算法進(jìn)行仿真 ? 離散化的方法一般可以采用差分法 如典型的擴(kuò)散方程： 22 0uubqtx??? ? ???可以將 x分成若干個(gè)子區(qū)間，即 xi=ih (i =0,1,2,… ,M)，對(duì)某個(gè) xi，有 2, 2,iixtxtd u ubqd t x??????????這樣可得 M+1個(gè)微分方程，其中 u對(duì) x的二階偏微分可以用二階差分近似，即 22, 1 12( ) ( , ) [ ( ) 2 ( ) ( ) ]ix t i i i iu f u t u t u t u t hx ??? ? ? ? ??? 原理簡(jiǎn)單，充分利用了常微分方程仿真算法的優(yōu)點(diǎn)，僅在一個(gè)自變量方向采用差分法計(jì)算，既直觀又易于實(shí)現(xiàn)。仿真過程中，數(shù)值積分與差分交替進(jìn)行。 ? 在使用這種方法時(shí)，正確選擇差分方法以實(shí)現(xiàn)對(duì)空間變量求導(dǎo)，是保證仿真模型穩(wěn)定性及計(jì)算精度的前提。
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