第三章連續(xù)系統(tǒng)仿真方法學(xué)-閱讀頁(yè)
2025-08-16 13:01本頁(yè)面
【正文】 紹 22112 ! !A T k ke I A T A T A Tk? ? ? ? ? ?第三節(jié) 連續(xù)系統(tǒng)的仿真算法 算法的基本概念 ? 系統(tǒng)模型 → 計(jì)算機(jī)模型：二次建模，算法是核心問(wèn)題 ? 算法：解題方案的準(zhǔn)確而完整的描述，一般采用文字、算式以及框圖的形式 ? 需要關(guān)注： ? 算法性能分析：誤差、收斂性、計(jì)算效率等 ? 算法的比較與選擇 ? 浮點(diǎn)數(shù)運(yùn)算 ? 計(jì)算機(jī)上進(jìn)行數(shù)值計(jì)算時(shí)，實(shí)數(shù) x用 t位十進(jìn)制浮點(diǎn)數(shù)表示： ? 其中 m為 t 位十進(jìn)制小數(shù)，且 1m1， c為十進(jìn)制整數(shù)，若 ≤m≤1，則稱此浮點(diǎn)數(shù)系統(tǒng)為規(guī)格化的， t 稱該數(shù)的精度，特定的計(jì)算機(jī)有固定的浮點(diǎn)數(shù)精度 10 cxm??采用浮點(diǎn)數(shù)運(yùn)算存在的常見(jiàn)問(wèn)題 ? 舍入誤差 ? 計(jì)算機(jī)有一組操作浮點(diǎn)數(shù)的指令，用以模擬加、減、乘、除運(yùn)算，但不可能精確。如乘法運(yùn)算時(shí)，乘積應(yīng)有 2t位精度，但實(shí)際僅能保留 t位，即存在舍入誤差。 ? 分布參數(shù)系統(tǒng)的求解方法較少，僅限于有限差分法和有限元法，另外還可以用物理集總參數(shù)法分隔物理空間并建立一組聯(lián)立的常微分方程組 ? 對(duì)于常見(jiàn)的連續(xù)系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，通常在使用數(shù)學(xué)模型時(shí)人們更關(guān)注的是模型對(duì)對(duì)象的外部特性的描述，因此，雖然復(fù)雜的對(duì)象往往是分布參數(shù)系統(tǒng)，但可以按照對(duì)象各測(cè)點(diǎn)的位置、結(jié)構(gòu)特點(diǎn)及其物理化學(xué)等特性進(jìn)行適當(dāng)分區(qū)，分區(qū)內(nèi)采用集中參數(shù)系統(tǒng)模型描述，從而可以避開非線性偏微分方程的迭代求解過(guò)程。 這是一個(gè)物理學(xué)經(jīng)典方程，直接求解非常繁瑣。設(shè)為 2個(gè)集總塊 選擇每個(gè)集總塊質(zhì)心作為集總慣量 J 所在位置，并以此確定 K（質(zhì)心之間桿長(zhǎng)的彈性），有 412 /4J J L r???? 原系統(tǒng)可以表示為一個(gè)兩段集總模型： ?????????????24242141421442)(4)(??????????????????LrLGrLGrLrLGrT i可求得兩個(gè)固有頻率 12GLGL?????????????而準(zhǔn)確值為 當(dāng)集總數(shù)量增大時(shí)，可預(yù)測(cè)出更多的固有頻率，數(shù)值也更精確 3. 有限差分法 對(duì)應(yīng)物理離散法有數(shù)學(xué)離散法，如有限差分法，其中常用的為中心差分法 設(shè) y=f(x,t)，當(dāng) t為常值時(shí)，中心差分法即用切點(diǎn)Pn上的中心差分近似函數(shù)曲線的斜率 xy xn 1 xn xn + 1yn 1 ynyn + 1Pn( xn, yn)h h112nnnyyyxh???? ??二階導(dǎo)數(shù)類似 111122,n n n nnny y y yyyx h x h??????????即一階導(dǎo)數(shù)為 2111122222[ ] / n n nn nny y yy y y hx x x h??????? ? ?? ? ? ?? ? ?對(duì)于具有兩個(gè)位置變量的函數(shù) f(x,y)，偏導(dǎo)數(shù)為 ( , ) ( , )2i i i if x h y f x h yfxh? ? ?? ??簡(jiǎn)記 f(xi+h,yi)=fi+1,j 則： 21 , 1 , 1 , , 1 ,222, 1 , 1 , 1 , , 12221 , 1 1 , 1 1 , 1 1 , 122,22,24i j i j i j i j i ji j i j i j i j i ji j i j i j i jf f f f fffx h x hf f f f fffy h y hf f f ffx y h? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ???????? ? ??????????????利用中心差分公式可將空間變量離散化，結(jié)果是把偏微分方程轉(zhuǎn)化為常微分方程 扭振桿分析 對(duì)一維波動(dòng)方程 2222tGy ????? ???有二階導(dǎo)數(shù)，則至少要用三點(diǎn)求中心差分 因邊界條件包含了端點(diǎn)的值，即有 y=0和 y=L的點(diǎn)，至少還要再加上一個(gè)點(diǎn) θ3= 0θ2= L / 2θ1= L L / 2 L / 2研究 Ti=0時(shí)的自由振動(dòng) 考慮 y=L/2處，中心差分公式： 223 2 1 22 2 22 (1)( / 2 )dy L G d t? ? ? ?????? ???y=0， y=L處不能直接用中心差分公式（無(wú)邊界條件外的點(diǎn)），但 y=L點(diǎn)上有已知零扭矩的邊界條件，由扭矩與扭轉(zhuǎn)應(yīng)變 y??? 成比例，有 12120( /2yLyL??? ????? ? ? ? ?? 后 向 差 分 ）則 (1)式化簡(jiǎn)為 22222 04dLG d t?? ???可得單一固有頻率： 2 GL? ?? 4. 有限元法 ? 用許多相互聯(lián)接的小子區(qū)域或元素表示所研究的介質(zhì)（差分法的幾何表示是網(wǎng)點(diǎn)陣列），元素可以有不同的形狀和大小，常見(jiàn)的為三角形元素，稱有限元離散化 ? 優(yōu)點(diǎn) ? 有限元形式的離散化更能和實(shí)際對(duì)象的邊界相吻合 ? 每個(gè)元素中，所有問(wèn)題未知數(shù)（溫度、壓力、流速等）也可按近似于其實(shí)際變化的已知方式變化 ? 比前兩種所假設(shè)的逐步變化形式更接近實(shí)際情況 ? 缺點(diǎn) ? 原理復(fù)雜，有些情況不適用 ? 扭振桿系統(tǒng)仿真結(jié)果： ? 用二元素（類似于有限差分的劃分方式）求解，可得固有頻率的系數(shù)分別為 基于常微分方程仿真方法的偏微分方程仿真建模方法 ? 線上求解法 (method on lines) ? 基本思想：將空間變量進(jìn)行離散化，而時(shí)間變量仍保持連續(xù)，從而將偏微分方程轉(zhuǎn)化為一組常微分方程，進(jìn)而基于常微分方程的各種仿真算法進(jìn)行仿真 ? 離散化的方法一般可以采用差分法 如典型的擴(kuò)散方程： 22 0uubqtx??? ? ???可以將 x分成若干個(gè)子區(qū)間，即 xi=ih (i =0,1,2,… ,M)，對(duì)某個(gè) xi，有 2, 2,iixtxtd u ubqd t x??????????這樣可得 M+1個(gè)微分方程，其中 u對(duì) x的二階偏微分可以用二階差分近似，即 22, 1 12( ) ( , ) [ ( ) 2 ( ) ( ) ]ix t i i i iu f u t u t u t u t hx ??? ? ? ? ??? 原理簡(jiǎn)單，充分利用了常微分方程仿真算法的優(yōu)點(diǎn)，僅在一個(gè)自變量方向采用差分法計(jì)算，既直觀又易于實(shí)現(xiàn)。 ? 在使用這種方法時(shí)，正確選擇差分方法以實(shí)現(xiàn)對(duì)空間變量求導(dǎo)，是保證仿真模型穩(wěn)定性及計(jì)算精度
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