【正文】 akx f x d x A f x??? ??必須有 ? ? ? ? ? ?1 0b nna x q x x dx??? ??即任意 次多項式 與 次多項式 在 上關(guān)于權(quán)函數(shù) 正交。因此有 1n? 1()nqx? n ()n x? [ , ]ab()x?12, , , nx x x 定理 3 Gauss求積公式 ()的 n個節(jié)點(diǎn) 是 上關(guān)于權(quán) 的 次正交多項式 的 個根 . [ , ]ab ()x? n ()n x? n 我們知道 ,對于某些固定的權(quán)函數(shù)及積分區(qū)間 , 都有相應(yīng)的正交多項式 ,只是與 相差一個常數(shù) ,它們的根就是Gauss型求積公式的節(jié)點(diǎn)。當(dāng)正交多項式及其根值確定之后，隨之便可確定系數(shù) ?？梢宰C明 ()n x?kA 定理 4 Gauss型求積公式的系數(shù)皆為正，且 ? ?? ? ? ?? ?2221 b nk aknkxxA d xxxx?????????????? ?（ ） 證明 由于 與 的表達(dá)式無關(guān)，從而可取 kA ()fx? ? ? ? ? ? 2nkf x x x x???????（ ） 這是一個次數(shù)為 次的多項式，并且容易看出 22n?? ? ? ? 20,j nkjkfxx j k????? ???? ?? ??? 由于 Gauss公式對其精確成立，故得 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2221jnbbnnj k n kaajkk xxxxx f x dx x dx A A xx x x x??? ? ?? ??? ? ? ? ???? ? ?? ? ? ? ????? ? ? ????因為 ? ? ? ? 0,ba x f x dx? ??所以 ? ? ? ? ? ?21 0bk ankA x f x dxx ????????? ?最后將（ ）式代入，便得到公式（ ） (三 ) 常用的 Gauss型求積公式 由于正交多項式隨權(quán)函數(shù)不同而異，所以有各種各樣的Gauss型求積公式。 Gauss— Legendre求積公式 Gauss— Legendre求積公式是相應(yīng)于 時的求積公式： ( ) 1 , [ , ] [ 1 , 1 ]x a b? ? ? ?? ? ? ?1 11nkkkf x d x A f x??? ?? （ ） 其中 ? ?? ? ? ?11 .nkk n kxA d xx x x???? ???12( ) ( ) ( ) ( )nnx x x x x x x? ? ? ? ?是在 上的 次正交多項式。我們知道， Legendre多項式 [ 1,1]? n? ? ? ?? ? 22!2! nn n nP x xn??在 上正交，從而可取 為 [ 1,1]? ()n x?? ? ? ?? ? ? ?22!2!nnnnx P xn? ?這時 Gauss型求積公式（ ）的節(jié)點(diǎn) 即為 的根，其求積系數(shù)為 ()nPx? ?? ? ? ?? ?? ? ? ?11nnkk n k k n kx P xA d x d xx x x x x P x?????? ??????直接用這個公式來計算 比較困難，事實上，我們可以得到更簡便的系數(shù)公式。只要取 kA? ? ? ? ? ? ,n nkPxf x P xxx ?? ?則有 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?11 21nnn j j n kjkPxf x d x p x d x A f x A P xxx?? ?? ?? ??? ? ? ??? ???注意到 ? ? ? ?1212 ,1nnkkPx P x dxx x x? ? ????便可得到 ? ? ? ? 2221k k n kA x P x? ???? ??（ ） （ 2） Gauss— Chebyshev求積公式 當(dāng)權(quán)函數(shù) 積分區(qū)間 時，有Gauss— Chebyshev求積公式 12 2( ) (1 )xx? ??? [ , ] [ 1,1]ab ??? ? ? ?121 1 .1nkkkfx d x A f xx? ??? ?? （ ） 其中 為 次 Chebyshev多項式 的根，即 kx n ()nTx? ?21c o s , 1 , 2 , , .2kkx k nn???? （ ） 因為此時 ? ? ? ?12 nnnx T x? ??從而有 ? ?? ? ? ? ? ? ? ?11221 1 111nnkk n k n k kT x T xA d x d xx x T x T x x xxx???? ????????? ? ? ?? ?01 c o s 1c o snkn k k n kTxn dT x x T x n n? ??????? ? ? ??? ??（ ） 這樣，（ ）式成為 公式（ ）的最大優(yōu)點(diǎn)是求積系數(shù)都相同。這在應(yīng)用時可以減少 次乘法運(yùn)算。 1n?? ? ? ?121 1 .1nkkfx d x f xnx?? ??? ?? () (四 ) Gauss型求積公式的余項 定理 5 若 在 內(nèi) 次連續(xù)可微，則Gauss型求積公式的余項表達(dá)式為 ()fx [ , ]ab 2n? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?2 2 6 . 1 72!n b nafE f x x d xn ? ?? ??? ??? 其中 ? ? ? ? ? ? ? ?12,.nna b x x x x x x x??? ? ? ? ? ?證明 若給定 在 個互異節(jié)點(diǎn) 處的函數(shù)值及導(dǎo)數(shù)值，可作出一個次數(shù) 的多項式 使得 ()fx n 12, , , nx x x21n??21()nHx?? ? ? ? ? ? ? ?2 1 2,n k k n k kH x f x H x f x? ????并且 ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?2 221 ,2!nnn ff x H x x a bn ? ??? ??? ? ???于是有 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?2 221 2!nb b bnna a a fx f x d x x H x d x x x d xn ?? ? ? ?? ???? ??? ? ?（ ） 而 ? ? ? ? ? ? ? ?2 1 2 111,nnb n k n k k kakkx H x d x A H x A f x? ?????????從而得 ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?22112!nbb nk k naakE f x f x dx A f x x f x dxn? ? ? ????? ? ? ?????由于 ，且因 ，故依積分中值定理可得 ( 2 ) ( ) [ , ]nf x C a b? 2( ) [ ( ) ] 0nxx?? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?( 2 ) 22!n b nafE f x x d xn ? ?? ??? ???證畢。 由定理 6，不難得到 Gauss— Legendre求積公式的余項表達(dá)式為 ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?421232! , 1 , 1 6 . 1 92 1 2 !nnnE f fnn???? ? ???? ?? Gauss— Chebyshev求積公式的余項表達(dá)式為 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?221 , 1 , 12 2 ! nnE f fn? ???? ? ?（ ） 例 5 利用 時的 Gauss— Legendre求積公式計算 2n?311I dxx??解 作變換 3 1 3 1 2.22x t t??? ? ? ?于是有 1122d t d xItx????????由 GaussLegendre求積公式，得 ? ?211 . 0 9 8 0 3 9 3 .kkkI A f x????精確值為 l n 3 1 . 0 9 8 6 1 3 2 .I