【正文】 這在應用時可以減少 次乘法運算?？梢宰C明 ()n x?kA 定理 4 Gauss型求積公式的系數(shù)皆為正，且 ? ?? ? ? ?? ?2221 b nk aknkxxA d xxxx?????????????? ?（ ） 證明 由于 與 的表達式無關(guān)，從而可取 kA ()fx? ? ? ? ? ? 2nkf x x x x???????（ ） 這是一個次數(shù)為 次的多項式，并且容易看出 22n?? ? ? ? 20,j nkjkfxx j k????? ???? ?? ??? 由于 Gauss公式對其精確成立，故得 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2221jnbbnnj k n kaajkk xxxxx f x dx x dx A A xx x x x??? ? ?? ??? ? ? ? ???? ? ?? ? ? ? ????? ? ? ????因為 ? ? ? ? 0,ba x f x dx? ??所以 ? ? ? ? ? ?21 0bk ankA x f x dxx ????????? ?最后將（ ）式代入，便得到公式（ ） (三 ) 常用的 Gauss型求積公式 由于正交多項式隨權(quán)函數(shù)不同而異，所以有各種各樣的Gauss型求積公式。即 求 節(jié) 點 和 系數(shù) ，使 求 積 公 式 ( 1 , 2 , , )kA k n?? ? ? ? ? ?1nbkkakx f x d x A f x??? ??對任何不高于 次的多項式 都準確。 由于 是任意三次多項式 ， 所以 是任意一次多項式，據(jù)正交多項式的性質(zhì)知，任意一個一次多項式都與二 次 Legendre多項式在 上帶權(quán)正交，又因為 是最高次項系數(shù)為 1的多項式，故（ ）中的 應取為 ()fx 1q[ 1,1]? 2()x?2()x?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?22 1 2 22 2 1 313 3 2x x x x x P x x? ? ? ? ? ? ? ? 就是二次 Legendre多項式的根，即 12,xx1213xx? ? ? ?12,AA 求出節(jié)點后，可利用求積公式（ ）確定 。 12, , , nx x x 顯然，由方程組（ ）就可以把 Gauss型求積公式的節(jié)點和系數(shù)求出來。于是提出如下問題： ()fx ()x?? ? 11 1 0mmm m mP x a x a x a x a??? ? ? ? ?12, , , nA A A能否選擇 個節(jié)點 和 個系數(shù) ，使得求積公式（ ）具有盡可能高的代數(shù)精度？ 1 2 ,nx x xn nn 為了回答這個問題，先固定 值，并設(shè)（ ）的代數(shù)精度為 m（待定），即設(shè)（ ）對所有的 次多項式 mn是準確的。對任 ()x? ( ) 1x? ?()ba g x dx?()()()bagxx d xx? ?? ? ? ? ?1( ) .nb kkakx f x d x A f x??? ?? （ ） n()fx從而都可化成（ ）形式的積分。 CotesCotes 依此類推，可以得到一系列逐次分半加速公式，其一般形式為 2.414 1 4 1mn n nmmX Y Y????() 當 時，將 ()稱為 公式，并記為 3m? Romberg323341 .4 1 4 1n n nR C C????() 在實際計算時，逐次分半加速法可按如下表格逐行進行計算。同樣，用 和 作適當?shù)木€性組合又可以得到更好的求積公式，這種用兩個相鄰的近似公式（其中一個公式是由另一個公式的分半得到的）的線性組合而得到的更好的近似公式的方法就是所謂的 求積方法（逐次分半加速法）。 21 ()2n n nT T H?? () 得到一個序列 稱為梯形值序列，隨后便可由關(guān)系式 ? ? , 1, 2 , ,nTn ?24133n n nS T T?? （ ） 由逐次分半算法，我們可依遞推公式 方法實際上是對逐次分半算法的改進，又稱逐次分半加速算法。由（ ）式可知 ? ? ? ?10112nTn n kkbaE f I T fn ?????? ??? ? ? ? ???? ?? ? ? ?3 2122011 2 2nTn n kkbaE f I T fn ?????? ??? ? ? ? ???? ?將兩式相除并注意當 充分大時 n? ? ? ? ? ?10n bk akba f f x dxn ???? ?? ???? ?? ? ? ? ? ?2102n bk akba f f x dxn ???? ?? ???? ?則得到 24nnITIT? ??? ?2213n n nI T T T? ? ? () 這說明，若用不等式 ()來控制計算過程。下面，僅以梯形公式為例來介紹這一算法。若 nT ()fx?? 在 上連 [ , ]ab 續(xù)，則它的誤差為 類似地， 若把區(qū)間 2n等分， 并對每一小區(qū)間采用梯形公式， 然后加起來，記 為 ， 則容易推得， 與 有如下關(guān)系 2nT 2nT nT210[ ] ( ) ( ) ( )1 2 1 2nTn n kkhhE f I T f b a f?????? ??? ? ? ? ? ??（ ） 21 ()2n n nT T H?? () 其中 110 2()nn kkH h f x? ??? ?,1kkxx?12kx? 為 1121 ( ) .2 kkkx x x ?? ??的中點，即 ()指出了計算 的遞推關(guān)系，能在計算機上方便地實現(xiàn) . 2nT 復化 Simpson公式 類似于復化梯形公式，可得 ? ?111 1100 21( ) [ ( ) 4 ( ) ( ) ] 3 .46kknnxk k nx kkkI f x d x f x f x f x S??? ????? ? ? ? ????nS 稱為復化 Simpson公式，下標 n表示將區(qū)間 [a,b] n等分， 它的誤 差是 4 ( 4 )()[ ] ( ) .2880snn baE f I S h f a b???? ? ? ? ? ?() 容易驗證 與 有如下關(guān)系 ： nS nT12 .33n n nS T H??又因為 211 .22n n nT T H??從而可得 24 41nnn TTS ?? ? () 分別用復化梯形公式和復化 Simpson公式計算積分 例 1 0 c osxI e xdx?? ? 解 積分 I的精確值為 I= ,n TnS以及它們 的誤差 ,TsnnEE 見表 . 256 128 64 32 16 8 4 2 表 nTn TnE nS snE ? 110?? 210?? 310?? 410?? 510?? 610?? 810?? 910? 210??????210?110?310?410?310??復化 Simpson公式比復化梯形公式精確得多，并隨 n的增大，誤差減少得很快。但由于高階 Newton Cotes公式的舍入誤差的干擾比較大，因此，在 實際計算中一般 不宜采用 n很大的 NewtonCotes公式。 但是，由于 公 式的代數(shù)精度為 3，故可將 Simpson 公式的誤差 表成 則據(jù) 插值方法有 Hermite( 4 ) 23 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )4! 2abf x p x f x a x x b? ?? ? ? ? ?( ))x???3333( ) ( ) , ( ) ( )( ) ( )22( ) ( )22P a f a P b f ba b a bPfa b a bPf??????????3()Px若假定 滿足 兩端積分，便有 ? ? ( 4 ) 2() ( ) ( ) ( )4! 2bs a f a bE f x a x x b d x? ?? ? ? ??? ?,x a b?顯然，當 時 ( )