【正文】 (?)(?1111111111111???????????????????NzNPNNPNNzNPNPNPNzNPNLNNNyNLNNTTZVTZVZV??????)](?)1()1()[1()(?)1(? NNNyNLNN LSTLSLS ???? ???????)1()()1(1)()1()1()()()1()1()1()1(????????????NNPNNPNNNPNPNPNNPNLTT?????82 〈 證明 〉 設(shè)已知 1)]()([)(),()()()(? ???? NNZNPNYNZNPN TTZV?行向量時(shí)，可構(gòu)造模型輸出信息及輔助、輸出信息息當(dāng)出現(xiàn)一組新的輸入信)()()()(nNxNyNu211??? ?? ?)()()()()()()()()()()()()()(1111111111????????????????nNuNuNunNxNxNxNznNuNuNunNyNyNyNTT?????83 ? ?? ?? ???????????????????????????????????????????)1()()1(,)1()()1(,1)y ( NNY1)Y ( N )1()1(1NP )1()1()1()1()1(? :)1(1IVNzNZNZNNNNYNZNYNZNNZNNTTTTT??式中時(shí)刻的輔助變量估計(jì)則? ?? ?)()()()()()()()()()()()()()(1111111111????????????????nNuNuNunNxNxNxNznNuNuNunNyNyNyNTT?????84 ? ? ? ?? ? ? ?? ?? ? )()(?)( )1()1( )1()( )1()1()( )1()1()()()1( )1()1()()()1()1()()( )1()()1()()1()()1()()1(? 11111111）（而得因而NYNZNNPNNzNPNPNNzNPNNzNNZNPNyNzNYNZNNzNNZNyNYNzNZNNNzNZNTIVTTTTTTTTTTIV?????????????????????????????????????????????????????????????????85 得時(shí)刻的輔助變量估計(jì)，將上式代入 )1( ?N)]1()1( )(?)1()1()(?)1()[1( )]1()1()(?)()[1()1(?11?????????????????NyNzNNNzNNPNPNyNzNNPNPNIVTIVIVIV?????)](?)()()[()(?)](?)()()[()()(?NNNyNLNNNNyNzNPNIVTIVIVTIV??????1111111?????????????式中 )1()1()1( ???? NzNPNL為增益矩陣。 86 )1()()1(1)()1()1()()( )()1()]1()()1(1)[1()()( )]1()1()([)1( )1()1()()()(1111111111??????????????????????????????????????NzNPNNPNNzNPNPNPNNzNPNNzNPNPNNzNPNPNCNzCNPAACCACICAACCATTTTTTTTTT?????? ，有，令證畢。 類似于遞推最小二乘法中初始值的選擇方法，如用 11??????)]()([)()()()]()([)(?NNZNPNYNZNNZNTTTIV?進(jìn)行遞推起動(dòng)。 為了避免計(jì)算 中的矩陣求逆運(yùn)算，由矩陣反演公式： )1( ?NP87 例 35 設(shè)仿真對(duì)象如下圖所示： 2121????????zzzz2121???????zzzz)(kv?)(ku )(kx)(ke)(ky?)()( )()()()()()( %),()(2121212310212121????????????????kvdkvdkvkubkubkyakyakyNkv。典型量測方程選用：使數(shù)據(jù)的噪信比值，；控制分布的不相關(guān)隨機(jī)噪聲為服從其中，不是白噪聲 88 本例若用最小二乘法 ,一般得不到無偏一致估計(jì) .采用遞推輔助變量估計(jì)，遞推計(jì)算 480步后，辨識(shí)結(jié)果如下： 參數(shù) 真值 估計(jì)值 ? ?E 1a 2a 1b 2b? ?靜態(tài)增益 噪聲均值 噪聲方差 應(yīng)當(dāng)指出：輔助變量估計(jì)應(yīng)用靈活，辨識(shí)效果好，但無法同時(shí)獲得噪聲模型的參數(shù)估計(jì)值。 89 167。 35 廣義最小二乘法 廣義最小二乘法是一種改進(jìn)的最小二乘法。當(dāng)系統(tǒng)量測方程中，噪聲為有色噪聲時(shí)，利用廣義最小二乘法可以得到無偏一致估計(jì)，且可得到噪聲模型的參數(shù)估計(jì)值。 廣義最小二乘法的基本思想是：通過成行濾波器，將有色噪聲轉(zhuǎn)化為零均值白噪聲，然后分別對(duì)廣義量測模型和噪聲模型應(yīng)用最小二乘法，得到迭代的無偏一致估計(jì)。 90 有聲噪聲下的參數(shù)估計(jì)問題 一、非遞推的廣義最小二乘法 設(shè)被辨識(shí)系統(tǒng)如下圖所示： )(ku),( 0?zG)(kx)(k?)(ky其中，被辨識(shí)系統(tǒng)傳遞函數(shù) )()(1)()(),(11020110102021010??????????????????zAzBzazazazbzbzbzuzxzGnnnn???91 nn zazazazA ???? ????? 02021011 1)( ?nn zbzbzbzB ???? ???? 02021011 )( ?)()(1)()(),(11020110102021010??????????????????zAzBzazazazbzbzbzuzxzGnnnn???? ? ? ?統(tǒng)計(jì)獨(dú)立。與輸入序列平穩(wěn)隨機(jī)序列，且為零均值獨(dú)立同分布的噪聲)()(kuk?系統(tǒng)有噪聲時(shí)的輸出序列： )()()()()()()(11kkuzAzBkkxky ?? ??????92 系統(tǒng)有噪聲時(shí)的輸出序列： )()()()()()()(11kkuzAzBkkxky ?? ??????可得： )()()()()()()()()(1111kvkuzBkzAkuzBkyzA???????? ?式中 ??? ????nii ikakkzAkv101 )()()()()( ???為有色噪聲序列。 93 )()()()(1010 kvikubikyakyniinii ????? ????表達(dá)式代入，得：及將 )()( 11 ?? zBzA)()()()()()()()()(1111kvkuzBkzAkuzBkyzA???????? ?nn zazazazA ???? ????? 02021011 1)( ?nn zbzbzbzB ???? ???? 02021011 )( ?94 令 k=n， n+1， … ， N，得如下量測方程 : )()()( 0 NVNNY ??? ?)()()()(1010 kvikubikyakyniinii ????? ????其中， V(N)為有色噪聲向量。各項(xiàng)意義同 167。 31. 95 ,)()()()(??????????????NynynyNY?1?????????????????????0010010nnbbaa?????????????????????????????)()2()1()()2()1()1()1()()1()1()()0()2()1()0()2()1()(nNuNuNunNyNyNyununuynynyununuynynyN????????，??????????????)()()()(NvnvnvNV?196 有色噪聲的轉(zhuǎn)化 ⑴ 有色噪聲 白噪聲只是數(shù)學(xué)上的一種抽象概括，實(shí)際物理系統(tǒng)或過程中存在的噪聲常常是非白噪聲，稱為“有色噪聲”。有色噪聲并非“有色”，只是相對(duì)白噪聲而言的取名。 有色噪聲的主要特征是存在重要的時(shí)間相關(guān)性，簡言之，有色噪聲就是相關(guān)噪聲。 jkjvkvCo v ??? , 0)}(),({ 相關(guān)噪聲的時(shí)間相關(guān)性可用其協(xié)方差函數(shù)表征。若 為有色噪聲隨機(jī)序列，其協(xié)方差必有 ? ?)(kv97 常見的有色噪聲如：隨機(jī)常數(shù)，隨機(jī)游動(dòng)，隨機(jī)斜坡及指數(shù)相關(guān)隨機(jī)序列。隨機(jī)系統(tǒng)中的擾動(dòng)，常用指數(shù)相關(guān)隨機(jī)序列來描述。 ⑵ 成行濾波器 成行濾波器是將有色噪聲轉(zhuǎn)化為白噪聲的“線形動(dòng)態(tài)系統(tǒng)”，一經(jīng)轉(zhuǎn)化，便可采用一般的最小二乘法，得到有色噪聲情況下的無偏一致估計(jì)。 目前，對(duì)于任意一個(gè)隨機(jī)序列，還無法解決怎樣導(dǎo)出其成形濾波器。然而，對(duì)平穩(wěn)且具有有理譜密度函數(shù)的隨機(jī)系列，可以導(dǎo)出其成形濾波器。 98 )(1)()()()()(zFzCzDzmzvzGF????式中， m(z)為濾波器輸入的零均值白噪聲序列，v(z)為濾波器輸出的零均值有色噪聲序列，故有 )()( )()( zmzC zDzv ?于是 )()()()()()()()()()(111kmzCzDkuzBkvkuzBkyzA??????? 設(shè) 為平穩(wěn)且具有有理譜密度函數(shù)的隨機(jī)序列，成形濾波器的脈沖傳遞函數(shù) ? ?)(kv99 通分得： )()()()()()()()()( 1111 kmkuzDzCzBkyzDzCzA ?? ????)(* ky )(* ku其中 m(k)為零均值白噪聲序列。若令 )()()()( )()()()()( 1* kyzFkyzD zCkyzDzCky ??? ?)()()()()()( 1* kuzFkyzDzCku ?? ?)()()()()()()()()()(111kmzCzDkuzBkvkuzBkyzA???????100 則有等價(jià)白噪聲作用下的被辨識(shí)系統(tǒng)差分方程 : )()()()()( *1*1 kmkuzBkyz