【正文】 ＋ b3( x ＋ 1) ＋ b4中， 令 x ＝ 0 ，得 1 ＝ 1 ＋ b1＋ b2＋ b3＋ b4 ① 令 x ＝－ 1 ，得－ 1 ＝ b4 ② 令 x ＝ 1 ，得 11 ＝ 16 ＋ 8 b1＋ 4 b2＋ 2 b3＋ b4 ③ 令 x ＝－ 2 ，得－ 7 ＝ 1 － b1＋ b2－ b3＋ b4 ④ 解 ①②③④ 聯(lián)立方程組得 b1＝ 0 ， b2＝－ 3 ， b3＝ 4 ， b4＝－ 1 ，對照選項，答案選 D. 題型十 含參數解析式的定義域 例 10 已知函數 f ( x ) 的定義域是 [ a ， b ] ，且 a ＋ b ＞ 0 ，求下列各函數的定義域： ( 1 ) f ( x2) ； ( 2 ) g ( x ) ＝ f ( x ) － f ( － x ) ． 解析 ( 1 ) 依題意，有????? b ＞ a ，a ＋ b ＞ 0. ∴ b ＞ 0 ，且 b ＞ | a |. 由 a ≤ x2≤ b ，得 當 a ≤ 0 時，定義域為 [ － b ， b ] ； 當 a ＞ 0 時，定義域為 [ － b ，－ a ] ∪ [ a ， b ] ． ( 2 ) 由????? a ≤ x ≤ b ，a ≤ － x ≤ b ，得????? a ≤ x ≤ b ，－ b ≤ x ≤ － a . ① ∵ a ＞－ b ， b ＞－ a ， ∴ 當 a ＞ 0 時，不等式組 ① 的解集為 ? ，這時函數 g ( x ) 不存在． 當 a ＝ 0 時，不等式組 ① 的解集為 x ＝ 0. 故函數 g ( x ) 的定義域為 { 0 } ． 當 a ＜ 0 時，不等式組 ① 的解集為 a ≤ x ≤ － a . 故函數 g ( x ) 的定義域為 [ a ，－ a ]. 變式遷移 10 設函數 y ＝ f ( x ) 的定義域為 [ 0 , 1 ] ，求函數 F ( x ) ＝ f ( x ＋ a ) ＋ f ( x －a )( a ＞ 0) 的定義域． 解析 由????? 0 ≤ x ＋ a ≤ 1 ，0 ≤ x － a ≤ 1 ， 即????? － a ≤ x ≤ 1 － a ，a ≤ x ≤ 1 ＋ a . ∵ a ＞ 0 ， ∴ － a ＜ a, 1 － a ＜ 1 ＋ a . ① 當 1 － a ＝ a 時，即 a ＝12時， x ＝12； ② 當 1 － a ＞ a 時，即 a ＜12時， a ≤ x ≤ 1 － a . ∴ 當 0 ＜ a ≤12時， F ( x ) 的定義域為 [ a, 1 － a ]. 題型十一 與定義域有關的逆向思維 例 11 已知函數 y ＝ l g [ ( a2－ 1) x2＋ ( a ＋ 1) x ＋ 1] 的定義域為 R ，求實數 a 的取值范圍． 解析 由對數的定義及題設條件 ( a2－ 1) x2＋ ( a ＋ 1) x ＋ 1 ＞ 0. ① 對 x ∈ R 恒成立． 當 a2－ 1 ≠ 0 時，應有 ????? a2－ 1 ＞ 0 ，Δ ＝ ? a ＋ 1 ?2－ 4 ? a2－ 1 ? ＜ 0. 解之 a ＜－ 1 或 a ＞53. 當 a2－ 1 ＝ 0 時，若 a ＝ 1 ，不等式 ① 不是絕對不等式； 若 a ＝－ 1 時，則不等式 ① 為 1 ＞ 0 ，為絕對不等式． ∴ 符合題意的 a 的集合為 ( － ∞ ，－ 1] ∪ (53，＋ ∞ ) ． 點評 對于 ① 式左邊，首先易想到利用二次函數的圖象，即拋物線開口向上，與 x 軸無交點．但要注意 x2的系數含有參數 a ，需對 a2－ 1 ＝ 0 加以討論 . 變式遷移 11 已知函數 f ( x ) ＝ mx2－ 6 mx ＋ m ＋ 8 的定義域為 R ，求實數 m 的取值范圍． 解析 依照 m 是否為零進行分類討論． ① 當 m ＝ 0 時， f ( x ) ＝ 8 ，其定義域為 R ； ② 當 m ≠ 0 時，要使 mx2－ 6 mx ＋ m ＋ 8 ≥ 0 在 x ∈ R 的情況下均成立，必須滿足 ????? m ＞ 0 ，Δ ＝ 36 m2－ 4 m ? m ＋ 8 ? ≤ 0.解得 0 ＜ m ≤ 1. 綜合 ① 、 ② 可知 m 的取值范圍為 [ 0 , 1 ] . 方 法 路 路 通 1 ．判斷對應是否為映射，即看 A 中元素是否滿足 “ 每元有象 ”和 “ 且象唯一 ” ；但要注意： ① A 中不同元素可有相同的象，即允許多對一，但不允許一對多， ② B 中元素可無原象，即 B 中元素可有剩余． 2 ．判斷兩個函數是否為相同的函數，抓住兩點： ① 定義域是否相同； ② 對應法則即解析式是否相同．注意：解析式可以化簡． 3 ．映射是一種特殊的對應，映射中的集合 A 、 B 可以是數集，也可以是點集或其他集合，這兩個集合有先后次序， A 到 B 的映射與 B 到 A 的映射是截然不同的，原象和象是不能互換的，互換后就不是原來的映射了． 4 ．函數的解析式、定義域、值域 函數的解析式、定義域、值域是函數概念的三要素，而值域 是由定義域及解析式所確定的，故解析式與定義域是函數的兩個獨立要素． 解析式是表示定義域和值域之間的一種對應關系，與所取的字母無關，如 y ＝ 3 x2＋ 1 與 y ＝ 3 t2＋ 1 為同一個函數． 5 ．確定函數定義域的原則： ( 1 ) 當函數 y ＝ f ( x ) 用圖象給出時，函數的定義域是指圖象在 x 軸投影所覆蓋的實數的集合． ( 2 ) 當函數 y ＝ f ( x ) 用表格給出時，函數的定義域是指表格中實數x 的集合； ( 3 ) 當函數 y ＝ f ( x ) 用解析式給出時，函數的定義域是指使解析式有意義的實數的集合； ( 4 ) 當函數 y ＝ f ( x ) 由實際問題給出時，函數的定義域 由實際問題的意義確定． 基本上可分為自然定義域與限定定義域兩類： ① 如果只給函數的解析式 ( 不注明定義域 ) ，其定義域應為使解析式有意義的自變量的取值范圍，稱為自然定義域； ② 如果函數受應用條件或附加條件所制約，其定義域稱為限定定義域． 定義域經常作為基本條件 ( 或工具 ) 出現(xiàn)在高考試題中，通過函數性質或函數應用來考查，具有隱蔽性，不為考生所注意，即主要求限定定義域，所以在解決函數問題時，必須樹立起 “ 定義域優(yōu)先 ”的觀點，以先分析定義域來幫助解決問題． 6 ．確定函數的定義域的依據 ( 1 ) 若 f ( x ) 是整式，則定義域為全體實數； ( 2 ) 若 f ( x ) 是分式，則定義域為使分式的分母不得為零的全體實數； ( 3 ) 若 f ( x ) 是偶次方根，則定義域為使被開方式為非負的全體實數； ( 4 ) 函數 f ( x ) ＝ x0的定義域為 ( － ∞ ， 0) ∪ (0 ，＋ ∞ ) ； ( 5 ) 模型函數的定義域是與之對應的函數的定義域模型，例如： y ＝ lo gax ( a ＞ 0 ， a ≠ 1) 的定義域為 (0 ，＋ ∞ ) ， y ＝ t a n x 的定義域為 { x | x ≠ k π ＋π2， k ∈ Z} ． ( 6 ) 對于復合函數求定義域問題，其一般步驟是：若已知 f ( x ) 的定義域為 [ a ， b ] ，其復合函數 f [ g ( x )] 的定義域應由不等式 a ≤ g ( x ) ≤ b 解出即得．例如：已知 f ( x ) 的定義域為 x ∈ [ 1 , 2 ] ，則 f ( x2) 的定義域應由1 ≤ x2≤ 2 解得 x ∈ [ － 2 ，－ 1] ∪ [1 ， 2 ] ． ( 7 ) 定義域結果要寫成區(qū)間或集合的形式． 7 ．求函數的解析式時的注意點 ( 1 ) 對于分段函數應分別求出各區(qū)間內的函數關系，再組合在一起，注意各區(qū)間的點既不重復，也不遺漏，例如函數 f ( x ) ＝????? 0 ， x ≥ 0 ，1 ， x ＜ 0的定義域是 R. ( 2 ) 關于復合函數的表 達式問題，要特別注意內層函數的值域落在外層函數定義域哪一段內，進而選擇相應的表達式計算． 8 ．許多實際應用題需要建立函數的解析式，這時要根據題中給定的條件，設定自變量列出函數解析式，并且要根據實際情況寫出函數的定義域 . 正 誤 題 題 辨 例當 k 為何值時，函數 y ＝kx ＋ 7kx2＋ 4 kx ＋ 3的定義域是一切實數？ 錯解 由 y ＝kx ＋ 7kx2＋ 4 kx ＋ 3的定義域為一切實數可知，分母 kx2＋ 4 kx ＋ 3 ≠ 0 對一切實數 x 恒成立． ∴ Δ ＝ (4 k )2－ 4 k 3 ＜ 0 ，解之得 0 ＜ k ＜34. ∴ 當 0 ＜ k ＜34時，函數定義域為 R. 點擊 關于 x 的方程 kx2＋ 4 kx ＋ 3 ＝ 0 中含有參數 k ，由于 x2項的系數為 k ，所以當 k ＝ 0 時，它不是一元二次方程，而此時 3 ≠ 0恒成立． 正解 由 y ＝kx ＋ 7kx2＋ 4 kx ＋ 3的定義域為一切實數，可得分母 kx2＋ 4 kx ＋ 3 ≠ 0 對 x ∈ R 恒成立． ① 當 k ＝ 0 時，則 3 ≠ 0 成立 ② 當 k ≠ 0 時， Δ ＜ 0 ，解得 0 ＜ k ＜34. 綜合 ①② 知， 當 0 ≤ k ＜34時， y 的定義域是 R . THANK