高三數(shù)學(xué)三角形中的幾何計(jì)算-資料下載頁(yè)
2025-11-01 07:56本頁(yè)面
【導(dǎo)讀】三角形中的幾何計(jì)算可歸結(jié)為以下三類(lèi)問(wèn)。1．幾何中的長(zhǎng)度問(wèn)題。把幾何中的線段長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為三角形的邊長(zhǎng)，[例]如圖所示，已知梯形ABCD中，解析：解法1：∵∠BAD＝60°，∴∠ADC＝120°.在△ACD中，由正弦定理，在△ACD中，AC＝19，CD＝2，∠ADC＝120°，將所求的角度放在一個(gè)或幾個(gè)三角形中，[例]在△ABC中，已知ab＝60，sinA＝cosB，absinC＝15，且ab＝60，成立．∴A＝90°＋B.當(dāng)C＝150°時(shí)，A＋B＝30°，從而B(niǎo)＝－。綜上可知，A＝120°，B＝C＝30°.把不是三角形的幾何圖形分割成不重疊的。幾個(gè)三角形，再由三角形的面積公式求解.利用正弦定理、余弦定理解決幾何計(jì)算問(wèn)。到P使BD＝DP，連結(jié)AP、PC.[變式訓(xùn)練1]如圖，在四邊。B、C、D的值，在△BCD中，
【正文】 BDC 的面積 S2＝34BD2. 而在 △ ABD 中由余弦定理可知： BD2＝ 12＋ 12－ 2 1 1 c os θ ＝ 2 － 2c os θ ， 于是四邊形 ABCD 的面積 S ＝12sin θ ＋34(2 － 2c os θ ) ， 即 S ＝32＋ sin( θ －π3) ，其中 0 θ π . ( 2) 由 S ＝32＋ sin( θ －π3) 及 0 θ π ， 則－π3 θ －π32π3. 當(dāng) θ －π3＝π2時(shí)， S 取得最大值 1 ＋32， 此時(shí) θ ＝π3＋π2＝5π6. ? 在應(yīng)用解三角形的知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，要分析和研究問(wèn)題中涉及的三角形，要明確它的哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，應(yīng)該選用正弦定理還是余弦定理進(jìn)行求解． ? [例 5] 中國(guó)空間技術(shù)研究院 (原航天五院 )將發(fā)射一顆人造地球衛(wèi)星，該衛(wèi)星在地球上空 1600千米處沿著圓形的軌道運(yùn)行，每2小時(shí)沿軌道繞地球旋轉(zhuǎn)一周．假設(shè)衛(wèi)星于中午 12 00通過(guò)衛(wèi)星跟蹤站 A點(diǎn)正上空，地球半徑為 6400 km，問(wèn)如果跟蹤站的天線瞄準(zhǔn)的方向與水平線的夾角成 30176。 ，那么從什么時(shí)候開(kāi)始人造衛(wèi)星能接收到跟蹤站天線發(fā)出的無(wú)線電信號(hào)？ ? 解析： 假設(shè)人造衛(wèi)星在 B點(diǎn)與跟蹤站天線發(fā)出的無(wú)線電信號(hào)相遇，如圖，則跟蹤站、衛(wèi)星和地心所構(gòu)成的 △ ABO中， OA＝ 6400，OB＝ 6400＋ 1600＝ 8000， ∠ BAO＝ 30176。 ＋90176。 ＝ 120176。 ， 由正弦定理sin ∠ BAO8000＝sin ∠ ABO6400， 得 sin ∠ ABO ＝6400sin120176。8000≈ ， 因此 ∠ ABO ≈ 44176。 . ∴∠ AO B ＝ 180176。 － ( 120176。 ＋ 44176。 ) ＝ 16176。 ， 由于人造衛(wèi)星繞地心 O 轉(zhuǎn)過(guò) β 角所需時(shí)間為： 120 β360176。＝ 120 16176。360176?！?( 分 ) ． 所以人造衛(wèi)星 前 分即 11 點(diǎn) 分，開(kāi)始接收通過(guò)該天線所發(fā)出的信號(hào)． ? [變式訓(xùn)練 5] 我炮兵陣地位于地面點(diǎn) A處，兩觀察所分別位于地面點(diǎn) C和 D處，已知CD＝ 6000米， ∠ ACD＝ 45176。 ， ∠ ADC＝75176。 ，目標(biāo)出現(xiàn)于地面點(diǎn) B處時(shí)，測(cè)得∠ BCD＝ 30176。 ， ∠ BDC＝ 15176。 ，如圖，求炮兵陣地到目標(biāo)的距離． 解析： 在 △ ACD 中， ∠ CAD ＝ 180176。 － ∠ ACD － ∠ AD C ＝ 60176。 ， CD ＝ 6000 ， ∠ ACD ＝ 45176。 ， 根據(jù)正弦定理 有 AD ＝CD sin45176。sin60176。＝ 23CD . 同理，在 △ BCD 中， ∠ CBD ＝ 180176。 － ∠ BCD － ∠ BD C ＝ 135176。 ， ∠ BCD ＝ 30176。 ， 根據(jù)正弦定理有 BD ＝CD sin30176。sin135176。＝22CD . 又在 △ ABD 中， ∠ AD B ＝ ∠ AD C ＋ ∠ BD C ＝ 90176。 ， 又 CD ＝ 6000 ，根據(jù)勾股定理有 AB ＝ AD2＋ BD2＝ 23＋12CD ＝426CD ＝ 1000 42 . ∴ 炮兵陣地到目標(biāo)的距離為 1000 42 米 .
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