高三數(shù)學三角形中的幾何計算(編輯修改稿)
2024-12-16 07:56 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 值，在△ BCD中，由余弦定理可求出 BD，進而解△ ABD，求出 AB來． ? 解析： 設(shè)四個角 A、 ∠ ABC、 C、 ∠ ADC的度數(shù)分別為 3x、 7x、 4x、 10x(x0)，則 3x＋7x＋ 4x＋ 10x＝ 360176。 ，解得 x＝ 15176。 . ? ∴ A＝ 45176。 ， ∠ ABC＝ 105176。 ， C＝ 60176。 ，∠ ADC＝ 150176。 . ? 連結(jié) BD，在 △ BCD中，由余弦定理，得 ? BD2＝ BC2＋ CD2－ 2BCCDcosC ? ＝ a2＋ 4a2－ 2a2a ＝ 3a2. ∴ BD ＝ 3 a ，此時 BC2＋ BD2＝ CD2， ∴△ C BD 為直角三角形， ∴∠ C BD ＝ 90176。 . 在 △ ABD 中， A ＝ 45176。 ， ∠ ADB ＝ 120176。 ， 由正弦定理知，ABsin ∠ ADB＝BDsin A， ∴ AB ＝BD sin ∠ ADBsin A＝3 22a . ∴ AB 的長度為3 22a . ? [例 2] 如圖，已知在四邊形ABCD中， AD⊥ CD， AD＝ 10，AB＝ 14， ∠ BDA＝ 60176。 ，∠ BCD＝ 135176。 ，求 BC的長． ? 分析： 在△ ABD中，已知兩邊和其中一邊的對角，用正弦定理可求出另一邊的對角，但得不到其與△ BCD的聯(lián)系，可再考慮用余弦定理求出 BD，其恰好是兩個三角形的公共邊，這樣可在△ BCD中應(yīng)用正弦定理求 BC. ? 解析： 在 △ BAD中，由余弦定理，得 ? AB2＝ BD2＋ AD2－ 2BDADcos∠ BDA. ? 設(shè) BD＝ x，則 142＝ x2＋ 102－2 10xcos60176。 ， ? ∴ x2－ 10x－ 96＝ 0， ? ∴ x1＝ 16， x2＝－ 6(舍去 )，即 BD＝ 16. ? 在 △ BDC中，由正弦定理，得 ? [變式訓練 2] 如圖，在四邊形 ABCD中，∠ ABC＝ ∠ ADC＝ 90176。 ， ∠ BAD＝ 60176。 ，AB＝ 4， AD＝ 5，求 AC的長． ? 分析： 由 ∠ ABC＝ ∠ ADC＝ 90176。 知， A、 B、C、 D四點共圓，因此 AC為四邊形 ABCD的外接圓的直徑，于是可利用余弦定理求出BD，然后利用正弦定理的變式求出 AC. 解析： 連結(jié) AC 、 BD . 在 △ ABD 中，由余弦定理，得 BD2＝ AD2＋ AB2－ 2 AD AB c os ∠ DA B ＝ 52＋ 42－ 2 5 4 c os60176。 ＝ 21 ， ∴ BD ＝ 21 . 依題意， A 、 B 、 C 、 D 四點共圓， AC 為其直徑， 由正弦定理知， AC ＝ 2 R ＝BDsin ∠ BAD＝ 2 7 . [ 例 3] ( 2020 浙江 ) 已知 △ ABC 的周長為 2 ＋ 1 ，且 sin A ＋ sin B ＝ 2 sin C . ( 1) 求邊 AB 的長； ( 2) 若 △ ABC 的面積為16sin C ，求角 C 的度數(shù)． ? 分析： 根據(jù)條件可知，要想求邊，則必須將角的關(guān)系用正弦定理化為邊的關(guān)系來處理，求角則一般考慮余弦定理． 解析： (1) 由題意及正弦定理，得 AB ＋ BC ＋ AC ＝ 2 ＋ 1 ， BC ＋ AC ＝ 2 AB ，兩式相減，得 AB ＝ 1. (2) 由 △ ABC 的面積12BC AC sin C ＝16sin C 得 BC 1
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