三角函數(shù)恒等變換-資料下載頁
2025-07-26 12:08本頁面
【正文】 {x|x≠kπ,k∈Z }. 所以最小正周期 T= =π. (2)令 所以單調(diào)遞減區(qū)間為 ? ? ? ? 2si n x c os x 2si n xc os xf x 2si n xc os x 2c os xsi n xsi n 2x c os 2x 1 2 si n 2x 1 ,4?? ? ??? ? ? ? ? ?（ ）22?3 3 72 k 2 x 2 k , k x k ,2 4 2 8 8? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?得37[ k , k ] , k Z .88??? ? ? ? ?【規(guī)范解答 4】 三角變換在研究三角函數(shù)中的應(yīng)用 【典例】 (12分 )(2022 陜西高考 )已知向量 a=（ cos x, ） , b=( sin x,cos 2x),x∈R, 設(shè)函數(shù) f(x)=a b. (1)求 f(x)的最小正周期 . (2)求 f(x)在 上的最大值和最小值 . 12?3[0, ]2?【解題】 規(guī)范步驟 ,水到渠成 (1)f(x)=a b=cos x sin x － cos 2x…………………… 2分 = ……………… 4分 最小正周期 T= =π. 所以 f(x)= 的最小正周期 為 π. …………………………… 6分 31231sin 2 x c o s 2 sinx22 2 x ,6?? ①（ － ）－22?sin 2 x 6?（ － ）(2) ② ,………………… 8分 由正弦曲線 y=sin x在 上的圖象知， ③ ,即 x= 時， f(x)取得最大值 1。 當(dāng) ,即 x=0時， f(x)取得最小值 . …… 10分 所以， f(x)在 上的 最大值和最小值分別為 1,－ .④ ………………………………………………………… 12分 5x [ 0 , ] 2 x ) [ , ]2 6 6 6? ? ? ?? ? ?當(dāng) 時 ， ( －5[ , ]66???2x 62????當(dāng) 3?2x 66??? ? ? 12[0, ]2?12【變題】 變式訓(xùn)練，能力遷移 (2022 朝陽模擬 )已知函數(shù) f(x)= (1)求函數(shù) f(x)的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間 . (2)求函數(shù) f(x)在 上的最小值 . 2x x xs in c o s c o s 1 .2 2 2? －3[ , ]42??【解析】 (1) 所以函數(shù) f(x)的最小正周期為 2π. 由 得 則函數(shù) f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是 ? ? x x 1 c o s xf x s in c o s 12 2 2??? －1 1 1 2 1sin x c o s x sin ( x ) .2 2 2 2 4 2?? ? ? ?－ －32 k x 2 k k Z2 4 2? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?， ，52 k x 2 k .44??? ? ? ? ? ?5[ 2 k , 2 k ] k Z .44??? ? ? ? ?，(2)由 ，得 則當(dāng) 即 x= 時， f(x)取得最小值－ . 3x42???? 7x.2 4 4? ? ?? ? ?3x42???? ， 54? 212?命題角度 2： 利用三角恒等變換研究三角函數(shù)的性質(zhì) 【典例 4】 (2022 福建高考 )已知函數(shù) f(x)=2cosx(sinx+cosx). (1)求 的值 . (2)求函數(shù) f(x)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間 . (本題源于教材必修 4P147T11) 【解題提示】 (1)直接將 代入到解析式求值 .(2)利用三角恒等變換將函數(shù) f(x)的解析式化簡 ,再利用正弦型函數(shù)的性質(zhì)求解 . 5f( )4?54?f(x)=2sin xcos x+2cos2x =sin 2x+cos 2x+1= （ 1） (2)T= =π .由 得 所以 f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為 2 s in ( 2 x ) 1 ,4???5 1 1f ( ) 2 s in 144????2 s in 1 2 .4?? ? ?22? 2 k 2 x 2 k , k Z ,2 4 2? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?3k x k , k Z .88??? ? ? ? ? ? ?3[ k , k ] , k Z .88??? ? ? ? ?
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