lesbesgue積分的定義及性質(zhì)-資料下載頁(yè)
2025-07-26 08:05本頁(yè)面
【正文】 |f(x)|M,則只要取 δ=ε/M即可，所以我們要 把 f(x)轉(zhuǎn)化為有界函數(shù)。 ,0,0 ???? ??, 時(shí)當(dāng) ??? meEe| ( ) | | ( ) |eef x d x f x d x ????? 若 f(x)在 E上可積，則 及任何可測(cè)子集 有 即：當(dāng)積分區(qū)域很小時(shí)，積分值也很小 . 積分的絕對(duì)連續(xù)性的證明 ?????????????????????? MeeeeMMdxdxfdxfdxfmeEe222)|(|||||時(shí)，且，則當(dāng)令|})(|)(0 xfx ?? ?且上簡(jiǎn)單函數(shù)，為 Exdxxdxxf EE )(:)(s u p {|)(| ???? ?證明：由于 f(x)可積，故 |f(x)|也可積 故對(duì)任意 ε，存在 E上的簡(jiǎn)單函數(shù) φ(x) ， 22( ) | ( ) | ( ) , ( | ( ) | ( ) )E E E Ex d x f x d x x d x f x x d x??? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?故 有且|,)(|)(0 xfx ?? ?使在 E上 由于 φ(x)為簡(jiǎn)單函數(shù)，故存在 M，使得 |φ(x)|M 例 設(shè) [0,1]上的函數(shù) f(x)在 Cantor集 P上定義為 0，在 Cantor集余集中長(zhǎng)度為 1/3n的構(gòu)成區(qū)間上定義為 n(n=1,2,3， …) ，求 f(x)在 [0,1]上的 Lebesgue積分值 解：令 Gn為 Cantor集 P的余集中長(zhǎng)度為 1/3n的構(gòu)成區(qū)間的并 ， 由條件知 f(x)是 [0,1]上的非負(fù)可測(cè)函數(shù) ， 根據(jù)積分的可數(shù)可加性知 ???????nGnPdxxfdxxf )()(10?? ????? )(]1,0[10)()(nn GPdxxfdxxf11310 0 ( ) 2 3nnnn???? ? ? ? ? ?? 證明：顯然 f(x)為 E上可測(cè)函數(shù) （可測(cè)函數(shù)列的極限函數(shù)是可測(cè)函數(shù)） )()(lim xfxf nn ???設(shè) fn(x)為 E上可測(cè)函數(shù)列， E，且存在非負(fù)可積函數(shù) F(x)，使得 |fn(x)| ≤F(x) E， 且由 |fn(x)| ≤F(x) E，知 |f(x)| ≤F(x) E， 所以 fn(x)， f(x)都為 E上可積函數(shù) ?? ???? ? E nnE nn dxxfdxxf )(lim)(lim則 f(x)在 E上可積且 dxxfxFdxxfxF nEnnnE))()(())()(( limlim ?? ???????由 |fn(x)| ≤F(x) E， 知 F(x)177。 fn(x)≥ 0 E，由 Fatou引理 知 又 F(x)可積，從而 dxxfdxxf nEnE)()( lim ?????dxxfdxxf nEnE)()( l i m ???????dxxfdxxfdxxfE nnEE nn ??? ?????? )()()( l i ml i m從而?? ???? ? E nnE nn dxxfdxxf )(l i m)(l i m故Lebesgue控制收斂定理的證明 例 試求 1 220l i m ( ) s i n 01n nxR n x d xnx?? ???證 明 :nxxnnxxf n s i n1)( 22??證明：令00)(si n1l i m)(si n1)(l i msi n1)(l i m]1,0[]1,0[ 22]1,0[ 2210 22?????????????????dxLn x d xxnnxLn x d xxnnxLn x d xxnnxRnnn12l im ( ) 0 , [ 0 , 1 ] , | ( ) | ( ) [ 0 , 1 ]nnn f x x f x F x L?? ? ? ? ? ? ?從而 Lebesgue控制收斂定理知： 則 )( xf n 在 [ 0, 1] 上連續(xù) , 因而在 [ 0, 1] 上（ R ）可積和（ L ）可積 . 6 1 , 2 , 3 , )( ) ( ) . .,1 l im ( ) ( ) 0 。( 2) l im ( ) ( ) .qnnnnEnnEEnE R f f n EF E L f x F x a eE n f ff x f x dxf x dx f x dx???????? ? ???????定 理 設(shè) 為 可 測(cè) 集 ， 和 （ 都 是 上 的可 測(cè) 函 數(shù) ， 是 上 的 非 負(fù) 可 積 函 數(shù) ， 如 果于 且 時(shí) 則（ ）, 1 , 2 , 3 , )0,1 l im ( ) ( ) 0 。( 2 ) l im ( ) ( ) .qnnnnEnnEEnE R m E f f n EM n f ME n f f E f ff x f x d xf x d x f x d x????? ? ? ? ???? ? ? ???????推 論 設(shè) 為 可 測(cè) 集 ， 和 （ 都 是上 的 可 測(cè) 函 數(shù) ， 如 果 存 在 使 得 對(duì) 于 任 意 的 自 然 數(shù) ，. 于 且 時(shí) . 于 或 則（ ）11111( ) ( ).,( ) ( ) .qnnnnEnnnnEEnnE R f E Lf x d x f x Ea e E Lf x d x f x d x???????????????????定 理 7 設(shè) 為 可 測(cè) 集 ， {} 為 上 的 一 列 可 積 函 數(shù)如 果 正 項(xiàng) 級(jí) 數(shù) 收 斂 ， 則 函 數(shù) 項(xiàng) 級(jí) 數(shù) 在 上處 處 收 斂 其 和 函 數(shù) 在 上 可 積 ， 且（ ）x( , ) ( , )( , ) , ( , ), ( , ) ( , ) ( , ) ( ) ,( , ) ( , )( , ) ( , ) .qtEdd t tEEE R f x t E a bt a b f x t x E Lx E f x t t a b f x t F xF E L f x t d x t a bf x t d x f x t d x?????????????定 理 8 設(shè) 為 可 測(cè) 集 ， 是 上 的 實(shí) 函 數(shù) ， 如果 對(duì) 于 任 意 的 作 為 的 函 數(shù) 在 上 可 積 ， 對(duì) 于 .的 作 為 的 函 數(shù) 在 上 可 導(dǎo) 且 這 里是 上 某 個(gè) 非 負(fù) 可 積 函 數(shù) ， 則 作 為 的 函 數(shù) 在 上可 導(dǎo) , 且
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