311-3-定積分的定義、性質(zhì)和幾何意義-資料下載頁
2025-07-26 05:14本頁面
【正文】 22 0 4 2e2 2 edxexx ?? ? ?。 ∵ ( 0 ) 1f ? ，411()2f e?， 2( 2 )fe ? ， 證 ：設(shè) 2( ) e xxfx ?? ，則 ( ) [ 0 , 1 ]f x C? 。 ∴ ( ) [ 0 , 1 ] fx 在 上 的最大值 2Me ? ，最小值41me?， ∴ 由估值定理得： 2 2 2244 021 ( 2 0 ) e ( 2 0 ) 2 .xx dx e eee?? ? ? ? ? ??2( ) ( 2 1 ) xxf x x e ?? ?? ，令 ( ) 0fx ? ? ，得駐點(diǎn) 12x ? ， 30 定積分的定義、性質(zhì)和幾何意義 )()()( abfdxxfba ??? ?。 若 函數(shù) ],[ baCf ? ，則 至少存在 一點(diǎn) ],[ ba?? ，使得 性質(zhì) 7 （ 定積分中值定理 ） 證 ： 因?yàn)?],[ baCf ? ，所以 ],[ baRf ? ， 且 f 在 ],[ ba 上有 最大值和最小值， 記 m i n ( )a x bm f x???， m ax ( )a x bM f x???， 則 )()()( abMdxxfabm ba ???? ?， 故 由閉區(qū)間上 連續(xù)函數(shù)的 介值定 理 知 ， 至少 存在一點(diǎn) ],[ ba?? ， 使得 即 Mabdxxfm ba ????)()( ， )()()( abfdxxfba ??? ?。 31 定積分的定義、性質(zhì)和幾何意義 在區(qū)間 ],[ ba 上至少存在一個(gè)點(diǎn) ? ， 幾何解釋： xyo a b?)(?f使得以區(qū)間 ],[ ba 為以曲線 )( xfy ?底邊，為曲邊的曲邊梯形的面積等于同一底邊而高為 )( ?f的一個(gè)矩形的面積。通常稱?? ba dxxfab )(1為函數(shù) f 在區(qū)間 ],[ ba 上的 積分中值 或 積分均值 ，它是有限個(gè)數(shù)的算術(shù)平均值概念在積分中的 推廣，表示函數(shù) f 在區(qū)間 ],[ ba 上的平均取值。 32 定積分的定義、性質(zhì)和幾何意義 例 5 ．設(shè) )( xf 在 ]1 ,0[ 上可導(dǎo)，且0 )( 2)1( 21 0 ?? ? dxxxff， 證明在 )1 ,0( 內(nèi)至少存在 ? 一點(diǎn) ，使 0)()( ??? ??? ff 。 證 ：對(duì)012 ( 1 ) 2 ( ) 0f x f x d x?? ?中的積分運(yùn)用積分中值定理 得11( 1 ) ( )ff ???，11[ 0, ]2? ?。 令 ( ) ( )F x x f x? ， ( ) ( ) ( )F x x f x f x?? ?? ， ∵ ()Fx 在 [ 0 , 1 ] 上可導(dǎo)， ∴由 R o ll e 定理知，至少存在一點(diǎn) 1( , 1 ) ( 0 , 1 )?? ?? ， ∴ ()Fx 在 1[ , 1 ]? 上可導(dǎo)，且 1 1 1( 1 ) ( 1 ) ( ) ( )F f f F? ? ?? ? ?， 使 ( ) 0F ?? ? 成立，即 ( ) ( ) 0ff? ? ?? ?? 。 33 定積分的定義、性質(zhì)和幾何意義 例 6 設(shè) )( xf 可導(dǎo)，且 1)(lim ????xfx， 求 dttfttxxx ?????2)(3s i nlim . 解 由積分中值定理知有 ],2,[ ??? xx使 dttfttxx? ? 2 )(3si n ),2)((3s i n xxf ??????dttfttxxx ?????2 )(3s i nlim )(3s inlim2 ???? f????)(3lim2 ?? f???? .6? 34 定積分的定義、性質(zhì)和幾何意義 習(xí) 題 一 （ P146 ） 作 業(yè) 1(2)(3) ； 2 ； 3 ； 4 ； 5 。
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