橢圓及其性質(zhì)知識點(diǎn)題型總結(jié)-資料下載頁
2025-07-26 04:33本頁面
【正文】 直線的方程為將兩直線方程聯(lián)立，消去得．因?yàn)椋耘c異號． ．又．與異號，與同號，解得因此點(diǎn)坐標(biāo)為，故為定值．（2013四川卷理）（本小題滿分12分）已知橢圓：的兩個焦點(diǎn)分別為，且橢圓經(jīng)過點(diǎn)．（Ⅰ）求橢圓的離心率；（Ⅱ）設(shè)過點(diǎn)的直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)是線段上的點(diǎn)，且，求點(diǎn)的軌跡方程．解：(1)由橢圓定義知，2a＝|PF1|＋|PF2|＝，所以.又由已知，c＝1.所以橢圓C的離心率.(2)由(1)知，橢圓C的方程為＋y2＝1.設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x，y)．(1)當(dāng)直線l與x軸垂直時，直線l與橢圓C交于(0,1)，(0，－1)兩點(diǎn)，此時點(diǎn)Q的坐標(biāo)為.(2)當(dāng)直線l與x軸不垂直時，設(shè)直線l的方程為y＝kx＋2.因?yàn)镸，N在直線l上，可設(shè)點(diǎn)M，N的坐標(biāo)分別為(x1，kx1＋2)，(x2，kx2＋2)，則|AM|2＝(1＋k2)x12，|AN|2＝(1＋k2)x22.又|AQ|2＝x2＋(y－2)2＝(1＋k2)x2.由，得，即.①將y＝kx＋2代入＋y2＝1中，得(2k2＋1)x2＋8kx＋6＝0.②由Δ＝(8k)2－4(2k2＋1)6＞0，得k2＞.由②可知，x1＋x2＝，x1x2＝，代入①中并化簡，得.③因?yàn)辄c(diǎn)Q在直線y＝kx＋2上，所以，代入③中并化簡，得10(y－2)2－3x2＝18.由③及k2＞，可知0＜x2＜，即x∈∪.又滿足10(y－2)2－3x2＝18，故x∈.由題意，Q(x，y)在橢圓C內(nèi)，所以－1≤y≤1.又由10(y－2)2＝18＋3x2有(y－2)2∈且－1≤y≤1，則y∈.所以，點(diǎn)Q的軌跡方程為10(y－2)2－3x2＝18，其中x∈，y∈.
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