20xx屆高三數(shù)學一輪復習教案(圓的方程)-資料下載頁
2025-07-25 23:27本頁面
【正文】 ，問點的軌跡是什么？解：設(shè).∵，∴，∴，∴.∵點在圓上運動，∴，∴，即，∴點的軌跡方程是.例已知定點，點在圓上運動，的平分線交于點，則點的軌跡方程是 .解：設(shè).∵是的平分線，∴， ∴.由變式1可得點的軌跡方程是.練習鞏固：已知直線與圓相交于、兩點，以、為鄰邊作平行四邊形，求點的軌跡方程.解：設(shè)，的中點為.∵是平行四邊形，∴是的中點，∴點的坐標為，且.∵直線經(jīng)過定點，∴，∴，化簡得.∴點的軌跡方程是.類型九：圓的綜合應用例2 已知圓與直線相交于、兩點，為原點，且，求實數(shù)的值．分析：設(shè)、兩點的坐標為、則由，可得，再利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求解．或因為通過原點的直線的斜率為，由直線與圓的方程構(gòu)造以為未知數(shù)的一元二次方程，由根與系數(shù)關(guān)系得出的值，從而使問題得以解決．解法一：設(shè)點、的坐標為、．一方面，由，得，即，也即：． ?、倭硪环矫?，、是方程組的實數(shù)解，即、是方程 ?、诘膬蓚€根．∴，． ③又、在直線上，∴．將③代入，得． ?、軐ⅱ?、④代入①，解得，代入方程②，檢驗成立，∴．解法二：由直線方程可得，代入圓的方程，有，整理，得．由于，故可得．∴，是上述方程兩根．故．得，解得．經(jīng)檢驗可知為所求． 說明：求解本題時，應避免去求、兩點的坐標的具體數(shù)值．除此之外，還應對求出的值進行必要的檢驗，這是因為在求解過程中并沒有確保有交點、存在．解法一顯示了一種解這類題的通法，解法二的關(guān)鍵在于依據(jù)直線方程構(gòu)造出一個關(guān)于的二次齊次方程，雖有規(guī)律可循，但需一定的變形技巧，同時也可看出，這種方法給人以一種淋漓酣暢，一氣呵成之感．例2已知對于圓上任一點，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．分析一：為了使不等式恒成立，即使恒成立，只須使就行了．因此只要求出的最小值，的范圍就可求得．解法一：令，由得：∵且，∴．即，∴，∴，即又恒成立即恒成立．∴成立，∴．分析二：設(shè)圓上一點[因為這時點坐標滿足方程]問題轉(zhuǎn)化為利用三解問題來解．解法二：設(shè)圓上任一點∴，∵恒成立∴即恒成立．∴只須不小于的最大值．設(shè)∴即．說明：在這種解法中，運用了圓上的點的參數(shù)設(shè)法．一般地，把圓上的點設(shè)為()．采用這種設(shè)法一方面可減少參數(shù)的個數(shù)，另一方面可以靈活地運用三角公式．從代數(shù)觀點來看，這種做法的實質(zhì)就是三角代換．例27 有一種大型商品，、兩地都有出售，且價格相同．某地居民從兩地之一購得商品后運回的費用是：每單位距離地的運費是地的運費的3倍．已知、兩地距離為10公里，顧客選擇地或地購買這種商品的標準是：包括運費和價格的總費用較低．求、兩地的售貨區(qū)域的分界線的曲線形狀，并指出曲線上、曲線內(nèi)、曲線外的居民應如何選擇購貨地點．分析：該題不論是問題的背景或生活實際的貼近程度上都具有深刻的實際意義和較強的應用意識，啟示我們在學習中要注意聯(lián)系實際，要重視數(shù)學在生產(chǎn)、生活以及相關(guān)學科的應用．解題時要明確題意，掌握建立數(shù)學模型的方法．解：以、所確定的直線為軸，的中點為坐標原點，建立如圖所示的平面直角坐標系．∵，∴，．設(shè)某地的坐標為，且地居民選擇地購買商品便宜，并設(shè)地的運費為元/公里，地的運費為元/公里．因為地居民購貨總費用滿足條件：價格＋地運費≤價格＋地的運費即：．∵，∴化簡整理得：∴以點為圓心為半徑的圓是兩地購貨的分界線．圓內(nèi)的居民從地購貨便宜，圓外的居民從地購貨便宜，圓上的居民從、兩地購貨的總費用相等．因此可隨意從、兩地之一購貨．說明：實際應用題要明確題意，建議數(shù)學模型．
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