3階段質(zhì)量檢測(cè)-資料下載頁
2025-07-24 12:57本頁面
【正文】 的前n項(xiàng)和Tn.解析 (1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則解得∴an＝2n＋＝＝n(n＋4)．(2)由bn＋1－bn＝an，∴bn－bn－1＝an－1(n≥2，n∈N＋)．當(dāng)n≥2時(shí)，bn＝(bn－bn－1)＋(bn－1－bn－2)＋…＋(b2－b1)＋b1＝an－1＋an－2＋…＋a1＋b1＝(n－1)(n－1＋4)＋3＝n(n＋2)．對(duì)b1＝3也適合，∴bn＝n(n＋2)(n∈N＋)．∴＝＝.Tn＝＝＝.22．(14分)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，點(diǎn)(an＋2，Sn＋1)在直線y＝4x－5上，其中n∈N＋.令bn＝an＋1－2an，且a1＝1.(1)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；(2)若f(x)＝b1x＋b2x2＋b3x3＋…＋bnxn，求f′(1)的表達(dá)式，并比較f′(1)與8n2－4n的大?。馕觥?1)∵Sn＋1＝4(an＋2)－5.∴Sn＋1＝4an＋3，∴Sn＝4an－1＋3(n≥2)，∴an＋1＝4an－4an－1(n≥2)，∴an＋1－2an＝2(an－2an－1)(n≥2)，∴＝＝2(n≥2)．∴數(shù)列{bn}為等比數(shù)列，其公比為q＝2，首項(xiàng)b1＝a2－2a1，而a1＋a2＝4a1＋3，且a1＝1，∴a2＝6，∴b1＝6－2＝4，∴bn＝42n－1＝2n＋1.(2)∵f(x)＝b1x＋b2x2＋b3x3＋…＋bnxn，∴f′(x)＝b1＋2b2x＋3b3x2＋…＋nbnxn－1，∴f′(1)＝b1＋2b2＋3b3＋…＋nbn，∴f′(1)＝22＋223＋324＋…＋n2n＋1，①∴2f′(1)＝23＋224＋325＋…＋n2n＋2，②①－②得－f′(1)＝22＋23＋24＋…＋2n＋1－n2n＋2＝－n2n＋2＝－4(1－2n)－n2n＋2，∴f′(1)＝4＋(n－1)2n＋2，∴f′(1)－(8n2－4n)＝4(n－1)2n－4(2n2－n－1)＝4(n－1)[2n－(2n＋1)]．當(dāng)n＝1時(shí)，f′(1)＝8n2－4n；當(dāng)n＝2時(shí)，f′(1)－(8n2－4n)＝4(4－5)＝－4＜0，f′(1)＜8n2－4n；當(dāng)n＝3時(shí)，f′(1)－(8n2－4n)＞0，結(jié)合指數(shù)函數(shù)y＝2x與一次函數(shù)y＝2x＋1的圖象知，當(dāng)x＞3時(shí)，總有2x＞2x＋1，故當(dāng)n≥3時(shí)，總有f′(1)＞8n2－4n.綜上：當(dāng)n＝1時(shí)，f′(1)＝8n2－4n；當(dāng)n＝2時(shí)，f′(1)＜8n2－4n；當(dāng)n≥3時(shí)，f′(1)＞8n2－4n.
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