bkraaa12充分條件與必要條件同步導(dǎo)學(xué)課件(北師大版選修1-1)-資料下載頁
2025-07-24 08:51本頁面
【正文】 法：對命題的條件和結(jié)論間的關(guān)系進行判斷有困難時 ， 有時可以從集合的角度來考慮 ， 記 p、 q對應(yīng)的集合分別為 A、 B， 則： 若 A ? B ，則 p 是 q 的充分條件； 若 A B ，則 p 是 q 的充分非必要條件； 若 A ? B ，則 p 是 q 的必要條件； 若 A B ，則 p 是 q 的必要不充分條件； 若 A ＝ B ，則 p 是 q 的充要條件； 若 A B ，且 A B ，則 p 是 q 的既非充分也非必要條件． ? 1． 定義法：分別證明充分性和必要性兩個方面 ． 在解題時要避免把充分性當必要性來證明的錯誤 ， 這就需要先分清條件與結(jié)論 ， 若從條件推出結(jié)論 ， 就是充分性；若從結(jié)論推出條件 ，就是必要性 ． ? 2． 等價法：就是從條件 (或結(jié)論 )開始 ， 逐步推出結(jié)論 (或條件 )， 但要注意每步都是等價的 ，即反過來也能推出 ． ? [注意 ] 證明 “ 充要條件 ” 一般應(yīng)分兩個步驟，即分別證明 “ 充分性 ” 與 “ 必要性 ” ，但千萬要注意 “ 誰 ” 是 “ 誰 ” 的充分條件， “ 誰 ” 是“ 誰 ” 的必要條件．盡管證明充要條件問題中前者可以是后者的充分條件，也可以是必要條件，但還是不能把步驟顛倒了．一般地，證明“ p成立的充要條件為 q” 時，在證充分性時應(yīng)以 q為 “ 已知條件 ” ， p是該步中要證明的 “ 結(jié)論 ” ，即 q?p；證明必要性時則是以 p為 “ 已知條件 ” ，即 p?q. ?◎ 判斷下列各題中的條件是結(jié)論的什么條件 ． ? (1)條件 A： ax2＋ ax＋ 1＞ 0的解集為 R， 結(jié)論B： 0＜ a＜ 4； ? (2)條件 p： A B， 結(jié)論 q： A∪ B＝ B. ? 【 錯解 】 (1)∵ Δ＝ a2－ 4a＜ 0， 即 0＜ a＜ 4， ?∴ 當 0＜ a＜ 4時 ， ax2＋ ax＋ 1＞ 0恒成立 ， 故B?A. ? 而 ax2＋ ax＋ 1＞ 0的解集為 R時 ， 有 0＜ a＜ 4，故 A?B， ?∴ A是 B的充要條件 ． ? (2)∵ A B?A∪ B＝ B， ∴ p?q， ? 而 A∪ B＝ B時 ， 有 A B， ∴ B?A. ?∴ p是 q的充要條件 ． ? 【 錯因 】 此類題的易錯點是在用定義判斷時，忽略了無論是 A?B，還是 B?A均要認真考慮是否有反例，這一點往往是判斷充分性和必要性的關(guān)鍵，也是難點．如 (1)題中，往往根據(jù)一元二次不等式的解去考慮此題，而忽略了 a＝ 0時原不等式變?yōu)?1＞ 0這一絕對不等式的情況．在 (2)題中同樣容易忽略 A＝ B這一特殊情況． 【正解】 ( 1) ∵ Δ ＝ a2－ 4 a ＜ 0 ，即 0 ＜ a ＜ 4 ， ∴ 當 0 ＜ a ＜ 4 時， ax2＋ ax ＋ 1 ＞ 0 恒成立，故 B ? A . 而當 a ＝ 0 時， ax2＋ ax ＋ 1 ＞ 0 恒成立， ∴ A B ， ∴ A 為 B 的必要不充分條件． ( 2) ∵ A B ? A ∪ B ＝ B ， ∴ p ? q . 而當 A ＝ B 時， A ∪ B ＝ B ，即 q p ， ∴ p 為 q 的充分不必要條件 .
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